Relativiteitstheorie, vraagstuk 44

Leid op verschillende manieren de relativistische transformatievergelijking af voor versnelling.
Versnelling is gedefinieerd als snelheidsverandering per verstreken tijd. Maar hoe ziet versnelling eruit relativistisch gezien? Een waarnemer W1 ziet een tweede waarnemer, W2, voorbijkomen met een constante snelheid +v. Waarnemer W2 ziet W1 daarom met een snelheid −v. Op een bepaald moment, t0 voor W1, t0' voor W2, zet W2 een constante versnelling a' in gang. Na een heel klein tijdje dt' is zijn snelheid een heel klein beetje dv' toegenomen:
W1 zag eerst W2 met een snelheid v en nu ziet hij hem met een iets hogere snelheid v + dv. W1 neemt een snelheidsverandering waar van dv en voor W2 is dat dv'. Vervolgens komt W2 op het idee om de twee snelheden, zoals waargenomen door W1, relativistisch van elkaar af te trekken om zodoende een relatie te vinden tussen dv' en dv. Want vanuit W2 gezien moet het verschil dv, zoals waargenomen door W1, via een relativistische vertaalslag overeenkomen met zijn dv'. Het relativistisch optellen van snelheden (of aftrekken, want dat is het optellen van een negatieve snelheid) gaat als volgt:
En daar maken we nu gebruik van:

Omdat dv infinitesimaal klein is en daarom te verwaarlozen is ten opzichte van v gaat deze vergelijking over in (hierin is γ de Lorentz-factor):

Oftewel, na combinatie met vergelijking (1):
Ik deel links en rechts door dt:

En versnellen maar!

Hoe nu verder? Die breuk dt'/dt is een afgeleide, een richtingscoëfficiënt van een raaklijn, pure tijddilatatie, oftewel een factor 1/γ. Dan wordt vergelijking (6):

Ik kan ook netjes de Lorentz-transformaties ter hand nemen:


Van vergelijking (8a) neem ik de differentiaal:
Dit resultaat stop ik in vergelijking (6):
Die snelheid u' is infinitesimaal klein en daarom te verwaarlozen ten opzichte van v. Zo kom ik wederom tot:
Ik kies weer een andere aanpak waarbij ik wederom gebruik maak het relativistisch optellen van snelheden (hoe wordt een snelheid u' waargenomen vanuit een ander stelsel dat met een snelheid v voorbij komt):
Ik bepaal de differentiaal van u:
Door de vergelijkingen (9) en (13) te combineren krijg ik:
Alleen al uit het simpele feit dat dit consistent moet zijn met de vergelijkingen (7) en (11) volgt dat de snelheid u' infinitesimaal klein is en daarom volledig wegvalt ten opzichte van v. Hierdoor gaat (14) over in het inmiddels bekende resultaat:
Ik kan het nog anders bekijken door te stellen dat x' = 0 op het moment dat ik dit alles beschouw/waarneem (daar is uiteraard helemaal niets op tegen als meebeweger). De vergelijking (8a) wordt dan:
Ik bepaal wederom de differentiaal:
Door dit te combineren met vergelijking (5) krijg ik nogmaals:
Zo ben ik op vier verschillende manieren tot hetzelfde resultaat gekomen:

Op ieder moment kan ik er een inertiaalstelsel bijzetten dat momentaan meebeweegt (met de nadruk op momentaan!). Heel netjes gezegd hebben we te maken met een momentaan meebewegend inertiaalstelsel (Engels: momentarily comoving inertial frame, afgekort: MCIF). Het meisje hiernaast is wellicht een aardige illustratie, want zij hangt natuurlijk niet echt zomaar stil in de lucht te hangen. De zwaartekracht werkt op haar in en er is dus echt wel versnelling aan het werk, maar het fototoestel (de korte sluitertijd daarvan) fungeert als een soort momentaan meebewegend inertiaalstelsel.