Relativiteitstheorie, vraagstuk 42

Het klassieke wereldbeeld (lees: de wereld volgens Newton) is een limietgeval van het relativistische wereldbeeld (lees: de wereld volgens Einstein). Hoe zit dat precies?

Klassiek gezien is tijd gewoon tijd. Tijd is universeel en voor iedereen tikt de tijd in hetzelfde ritme voort. Daarnaast is het vanzelfsprekend dat ruimte een of ander gigantisch onzichtbaar podium is waarop het leven zich afspeelt. Tot aan het einde van de negentiende eeuw was dit zover boven alle twijfel verheven dat men niet eens op het idee kwam om dit in twijfel te trekken. En zo waren er nog wel meer natuurkundige parameters, zoals bijvoorbeeld massa en energie, waarvoor een universele waarheid leek te gelden. Met de komst van Einstein veranderde dit allemaal en in 1905 haalde hij alles wat tot dan toe zo logisch leek onderuit en toonde de mensheid een nieuwe onbevattelijke werkelijkheid.

Waar ik mij iedere keer weer over verbaas is hoe mooi deze relativistische wereld onder huis-tuin-en-keuken-omstandigheden naadloos overgaat in het klassieke wereldbeeld. Dat weet ik, en u ook want dat is immers onze dagelijkse realiteit, maar bovendien doet de wiskunde (uiteraard) perfect mee. Voor de limietovergang naar lage snelheden of geringe zwaartekracht gaan alle relativistische vergelijkingen over in hun klassieke evenbeelden, terwijl de vergelijkingen het tegelijkertijd niet toestaan dat de lichtsnelheid bereikt wordt, laat staan overschreden wordt. Om dat te benadrukken heb ik de meeste vergelijkingen ontwikkeld in een Taylor-reeks waaruit telkens weer blijkt dat de eerste term de klassieke oplossing is en de overige termen de relativistische bijdrage vormen. Bij de lichtsnelheid ontstaan er ook in alle gevallen wiskundige problemen, noemers worden nul of er moet de wortel of logaritme genomen worden van een negatief getal.

Over deze gecombineerde schoonheid van natuurkunde en wiskunde gaat deze pagina. Oftewel, Newton als limietgeval van Einstein.


De Lorentz-factor

Wanneer je je verdiept in relativiteitstheorie dan vliegen de γ’s je al snel om de oren. De Lorentz-factor γ heeft geen echte klassieke tegenhanger, anders dan het getal één. Klassiek is tijd immers gewoon tijd en dit gold ook nog voor een aantal andere zaken. Reden genoeg om hier te openen met die wereldberoemde γ.
Klassiek
Relativistisch

De Lorentz-factor als functie van β,
klassiek (de rode lijn) en relativistisch (de groene lijn)
Voor alle details en de afleidingen van bovenstaande vergelijkingen zie deze pagina.
Hoe dit in de praktijk uitwerkt zie deze pagina.


Tijddilatatie en lengtecontractie

Tijd is helemaal niet universeel, tijd loopt langzamer (tijddilatatie) en afstanden krimpen (lengtecontractie) wanneer twee waarnemers ten opzichte van elkaar bewegen. Hoe onbevattelijk het ook is voor onze grijze massa, het is echt waar.
Klassiek
Relativistisch

Tijddilatatie en lengtecontractie als functie van β,
klassiek (de rode lijn) en relativistisch (de groene lijn)
Voor alle details en de afleidingen van bovenstaande vergelijkingen zie deze pagina.
Hoe dit in de praktijk uitwerkt zie deze pagina.


De Lorentz-transformaties

Tijddilatatie en lengtecontractie vragen om nieuwe transformatievergelijkingen om tijd en positie van twee waarnemers, die ten opzichte van elkaar bewegen, van het ene referentiekader naar het andere om te rekenen. Klassiek deed men dit met de Galileïsche transformaties en daarvoor kwamen de Lorentz-transformaties in de plaats.
Klassiek
(Galileï-transformaties)
Relativistisch
(Lorentz-transformaties)
Voor alle details en de afleidingen van bovenstaande vergelijkingen zie deze pagina.
Hoe dit in de praktijk uitwerkt zie deze pagina.


Versnelling

De Lorentz-transformaties werken perfect, maar alleen bij constante snelheden. Wanneer er versnelling in het spel komt dan openbaart zich een zo mogelijk nog boeiender wereld. Hieronder staan de vergelijkingen waarmee afstand, snelheid, versnelling en tijd omgerekend kunnen worden tussen twee waarnemers waarvan er eentje met constante versnelling beweegt. W2 is de waarnemer die gaat versnellen en W1 is de waarnemer die ‘stilstaat’ en het allemaal ziet gebeuren.
Bewegingsparameters bij constante versnelling voor W1
W1 Relativistisch Limiet voor t → 0
(= klassiek)
Limiet voor t → ∞
Afgelegde weg
Snelheid
Versnelling
Tijd
Bewegingsparameters bij constante versnelling voor W2
W2 Relativistisch Limiet voor t’ → 0
(= klassiek)
Limiet voor t’ → ∞
Afgelegde weg
Snelheid
Versnelling
Tijd

x als functie van t voor a0’ = 10 m/s2,
klassiek (de rode lijn) en relativistisch (de groene lijn)


x’ als functie van t’ voor a0’ = 10 m/s2,
klassiek (de rode lijn) en relativistisch (de groene lijn)


v als functie van t voor a0’ = 10 m/s2,
klassiek (de rode lijn) en relativistisch (de groene lijn)


v’ als functie van t’ voor a0’ = 10 m/s2,
klassiek (de rode lijn) en relativistisch (de groene lijn)


a als functie van t voor a0’ = 10 m/s2,
klassiek (de rode lijn) en relativistisch (de groene lijn)


a’ als functie van t’ voor a0’ = 10 m/s2,
klassiek (de rode lijn) en relativistisch (de groene lijn)


t als functie van t’ voor a0’ = 10 m/s2,
klassiek (de rode lijn) en relativistisch (de groene lijn)


t’ als functie van t voor a0’ = 10 m/s2,
klassiek (de rode lijn) en relativistisch (de groene lijn)
Voor alle details en de afleidingen van bovenstaande vergelijkingen zie deze pagina.
Hoe dit in de praktijk uitwerkt zie deze pagina en deze pagina.


Snelheden optellen

Zet alles wat logisch is (lees: waar je mee bent grootgebracht) maar bij het grof vuil wanneer je met relativiteitsheorie aan de slag gaat, want zelfs zoiets simpels als het optellen van twee snelheden blijkt ineens anders uit te pakken. Het is net alsof één plus één niet meer gelijk is aan twee. Je kunt snelheden weliswaar nog steeds op de ouderwetse manier bij elkaar optellen (tot een bepaalde nauwkeurigheid) zolang je maar niet te hard gaat. Want honderd kilometer per uur plus honderd kilometer per uur is relativistisch nog steeds tweehonderd kilometer per uur tot op meer dan tien cijfers achter de komma nauwkeurig! Maar welke twee snelheden je ook optelt, ook al is het tweemaal de lichtsnelheid, de som van beide komt nimmer boven de lichtsnelheid uit zoals uit onderstaande grafiek blijkt.
Klassiek
Relativistisch

De som van twee snelheden, horizontaal staat β1 en verticaal staat de somsnelheid
(als fractie van de lichtsnelheid) voor β2 = 0.000001c (de rode lijn), β2 = 0.5c (de groene lijn)
en β2 = 0.99c (de blauwe lijn)
Voor alle details en de afleidingen van bovenstaande vergelijkingen zie deze pagina.
Hoe dit in de praktijk uitwerkt zie deze pagina.


Kinetische energie

Kinetische energie is bewegingsenergie, hoe zit dat dan klassiek en relativistisch? Want indien de lichtsnelheid de maximale snelheid is dan lijkt dat ook een bovengrens te impliceren voor de kinetische energie van een voorwerp. En inderdaad, ook hier blijkt de klassieke mechanica slechts een limietovergang van de relativistische werkelijkheid.
Klassiek
Relativistisch

Kinetische energie als functie van β voor m0 = 1 kg,
klassiek (de rode lijn) en relativistisch (de groene lijn)
Voor alle details en de afleidingen van bovenstaande vergelijkingen en hoe dit in de praktijk uitwerkt zie deze pagina en deze pagina.


Het Doppler-effect

Het Doppler-effect kennen we uit de praktijk wanneer we, zittend in een trein, een spoorwegovergang passeren. Tijdens het naderen van de spoorwegovergang gaat de toonhoogte van de bellen omhoog en na de passage weer omlaag. Twee eeuwen geleden is dit verschijnsel door meneer Doppler beschreven en hij beschreef dat voor twee aparte situaties: de geluidsbron beweegt (naar de waarnemer toe of er vandaan) of de waarnemer beweegt (naar de bron toe of er vandaan). Relativistisch mag dat uiteraard niet uitmaken en Einstein vangt in 1905 het Doppler-effect in één enkele vergelijking. Voor lage snelheden (en geluid is niet zo snel) gaat die vergelijking naadloos over in de vergelijkingen van Doppler.
Klassiek
(voor bewegende waarnemer
respectievelijk bewegende bron)
Relativistisch
Voor alle details en de afleidingen van bovenstaande vergelijkingen en hoe dit in de praktijk uitwerkt zie deze pagina.


Energie

Energie is een behouden grootheid, dat klopt, maar dat wil nog niet zeggen dat iedereen een bepaalde hoeveelheid energie als precies hetzelfde aantal joules waarneemt. Bewegende waarnemers nemen energie verschillend waar, en ook dit werd door Einstein haarscherp duidelijk gemaakt. In dit geval hebben we het over elektromagnetische golven, en de energie die besloten zit in het elektrische - en magnetische veld.
Klassiek
Relativistisch

E’/E als functie van β,
klassiek (de rode lijn) en relativistisch (de groene lijn)
Voor alle details en de afleidingen van bovenstaande vergelijkingen zie deze pagina.


Het impulsmoment van een holle bol

Klassiek
Relativistisch

Het impulsmoment van de bol als functie van β voor m0 = 1 kg en R = 1 m,
klassiek (de rode lijn) en relativistisch (de groene lijn)
Voor alle details en de afleidingen van bovenstaande vergelijkingen zie deze pagina.


De rotatie-energie van een holle bol

Klassiek
Relativistisch

De rotatie-energie van de bol als functie van β voor m0 = 1 kg,
klassiek (de rode lijn) en relativistisch (de groene lijn)
Voor alle details en de afleidingen van bovenstaande vergelijkingen zie deze pagina.


Het impulsmoment van een massieve bol

Klassiek
Relativistisch

Het impulsmoment van de bol als functie van β voor m0 = 1 kg en R = 1 m,
klassiek (de rode lijn) en relativistisch (de groene lijn)
Voor alle details en de afleidingen van bovenstaande vergelijkingen zie deze pagina.


De rotatie-energie van een massieve bol

Klassiek
Relativistisch

De rotatie-energie van de bol als functie van β voor m0 = 1 kg,
klassiek (de rode lijn) en relativistisch (de groene lijn)
Voor alle details en de afleidingen van bovenstaande vergelijkingen zie deze pagina.