Relativiteitstheorie, vraagstuk 20

Hoe zou je de lengtecontractie van een rijdende trein kunnen bepalen?

Je staat op een perron, er dendert een trein voorbij, en de relativiteitstheorie leert ons dat die trein een lengtecontractie ondergaat als gevolg van de snelheid die die trein heeft ten opzichte van jou, de waarnemer op het perron. Hoe zou je die lengtecontractie kunnen bepalen?

Er is een hele simpele methode die altijd werkt. Wanneer de trein (nog) stil staat meet je op je gemak met een (hele nauwkeurige) liniaal of rolmaat of duimstok de lengte van de trein op, deze lengte noemen we L1. Vervolgens verlaat je de trein en de trein vertrekt. Dit klusje had je natuurlijk ook kunnen laten doen door iemand in de trein terwijl de trein reed, en die persoon belt of appt je vervolgens het resultaat door. Op het perron zet je twee streepjes waarvan je heel nauwkeurig de tussenliggende afstand meet. Jij gaat bij het ene streepje staan en een assistent gaat bij het andere streepje staan. Je hebt beide een nauwkeurig uurwerk paraat en jullie zorgen dat die precies gelijk lopen. Dit kun je allemaal op je gemak uitvoeren, je hebt alle tijd van de wereld.

Dan komt het moment suprème, de trein dendert voorbij en jullie lezen allebei het tijdstip af dat de voorkant van de trein het streepje passeert. Tenslotte leest een van jullie ook nog het tijdstip af dat de achterkant van de trein het streepje passeert.

De trein is gepasseerd en jij en de assistent lopen naar elkaar toe. Uit de tijden die jullie geklokt hebben bij het passeren van de voorkant van de trein is de snelheid van de trein te berekenen:
En degene die ook nog geklokt heeft wanneer de achterkant voorbij kwam kan daarmee de lengte van de trein uitrekenen:
De lengtecontractie van de trein is aldus:
Op zich is er helemaal niets mis met deze methode afgezien van de praktische uitvoerbaarheid. De lengtecontractie van een hogesnelheidstrein op topsnelheid is nog altijd veel minder dan de diameter van één enkel atoom en om dat via bovenstaande methode te gaan meten is een heilloze onderneming.

Tijd kunnen we heel nauwkeurig meten, dus een methode waarbij we geen gebruik hoeven te maken van linialen en dat soort afstandsmeters, en alleen maar tijdsintervallen meten, zou al een enorme stap vooruit zijn. Kijk eens naar de volgende meetopstelling.
Er is een waarnemer, W1, achterin de trein en die laat een lampje flitsen dat helemaal aan de achterkant van de trein op positie xa,1 is gemonteerd. Deze lichtflits, op tijdstip cta,1, is gebeurtenis G1. Helemaal aan de voorkant van de trein bevindt zich een spiegeltje en gebeurtenis 2, G2, is het weerkaatsen van de lichtflits tegen dit spiegeltje. Gebeurtenis 3, G3 op tijdstip ctb,1, is de terugkeer van dit licht bij W1 en hij/zij heeft geklokt hoelang het licht er over heeft gedaan om naar de voorkant van de trein te reizen en weer terug. Gedurende het tijdsinterval ∆ct1 = ctb,1 − cta,1 was de lichtstraal onderweg en heeft daarbij tweemaal de afstand ∆x afgelegd zijnde lengte L1 van de trein. W1 kan uit de beide tijdstippen die hij geklokt heeft, vertrek lichtstraal en terugkeer lichtstraal, de lengte van de trein berekenen:
Of de trein rijdt of stilstaat maakt allemaal niet uit voor W1, onder alle omstandigheden (tenzij de trein versnelt of afremt) zal hij tot dezelfde treinlengte komen. Omdat W1 in zijn stelsel niet beweegt kiest hij als x-coördinaat voor zijn positie x1 = xa,1 = 0. En om alles nog simpeler te maken kiest hij voor het moment dat de lamp flitst ct1 = cta,1 = 0. Daarmee wordt de vergelijking voor de lengte van de trein:
Een tweede waarnemer W2 rijdt met W1 mee en is getuige van de metingen die W1 uitvoert. Hij weet nu wat de uitkomst is van de metingen van W1 en hij ziet ook dat de snelheid van de trein niet van invloed is op het resultaat, zolang die snelheid maar constant is. Vervolgens stapt W2 uit de trein en gaat proberen buiten de trein de lengtemeting te reproduceren. Hij maakt eveneens gebruik van de lichtflits die door W1 geïnitieerd wordt en van de door de spiegel teruggekaatste lichtflits. Wanneer de trein passeert meet W2 met behulp van twee sensoren, die op een voor hem bekende afstand staan, de snelheid van de trein. Daarna stapt hij op de rails zodat vanaf dat moment alles een eendimensionaal probleem wordt en kan W1 beginnen met de lengtemeting van de trein.
W2 weet uiteraard niet wanneer W1 de lamp laat flitsen en benoemt daarom deze gebeurtenis G1 met voor hem onbekende ruimtetijdcoördinaten (xa,2, cta,2). De flitsende lamp stuurt een lichtstraal naar de voorkant van de trein, de vergelijking hiervan is:
Met b een onbekende constante, maar die kunnen we te weten komen door de coördinaten van G1 in te vullen:
Zodat de vergelijking van de lichtstraal wordt:
We kunnen ook de vergelijking opstellen van de achterkant van de trein:
Met b een onbekende constante, maar die kunnen we wederom te weten komen door de coördinaten van G1 in te vullen:
Zodat de vergelijking van de achterkant van de trein wordt:
De vergelijking van de voorkant van de trein is nagenoeg identiek hieraan, maar dan een treinlengte L2 ‘verderop’:
Er gaat ook een lichtstraal van de achterkant van de trein naar W2 (aankomst bij W2 is G5). De vergelijking hiervan is:
Met b een onbekende constante, maar ook die kunnen we te weten komen door de coördinaten van G1 in te vullen:
Zodat de vergelijking van de lichtstraal wordt:
Omdat W2 in zijn stelsel niet beweegt kiest hij, net als W1 als x-coördinaat voor zijn positie x2 = xa,2 = 0. Door dit in te vullen in de laatste vergelijking vinden we de tijdcoördinaat van G5:
De coördinaten van G2 vinden we door het snijpunt uit te rekenen van de voorkant van de trein en de lichtstraal die daar naar toe op weg is:
De tijdcoördinaat die hierbij hoort is:
Vanaf de spiegel weerkaatst de lichtstraal terug richting de achterkant van de trein, de vergelijking hiervan is:
Met b een onbekende constante, maar die kunnen we te weten komen door de coördinaten van G2 in te vullen:
Zodat de vergelijking van de lichtstraal wordt:
De coördinaten van G3 vinden we door het snijpunt uit te rekenen van de achterkant van de trein en de lichtstraal die daar naar toe op weg is:
De tijdcoördinaat die hierbij hoort is:
De lichtstraal die vanaf de voorkant op weg is naar W1 is ook op weg naar W2. De aankomst bij W2 is G4 en daar is x2 = 0:
Laat ik even alles op een rijtje zetten:
Het tijdsverschil tussen G5 en G4 is voor W2:
Uit dit tijdsinterval, dat W2 geklokt heeft, kan hij de treinlengte L2 berekenen.

Het tijdsverschil tussen G1 en G3 is voor W1:
En het tijdsverschil tussen G1 en G3 is voor W2:
De verhouding van beide is:
Deze afleiding kan zowel door W1 als door W2 gedaan worden.

Hoe moeten we dit resultaat duiden? W1 en W2 weten dat hun wederzijdse tijden dilateren met een factor γ. Kritische noot: weten ze dat? Ik zeg “ja”, want tijddilatatie is een experimenteel bewezen/gemeten feit. Wanneer we dit verwerken in de tijdsintervallen ∆ctG1 → G3 in bovenstaande vergelijking dan houden we over:
Met andere woorden, W2 meet een treinlengte L2 die een factor γ korter is dan de treinlengte L1 zoals gemeten door W1: lengtecontractie.

Echter, nog steeds blijft al het voorafgaande gereken aan de lengte van een rijdende trein puur een mathematische excursie. Zoals gezegd is de lengtecontractie van een trein veel minder dan de diameter van een atoom en een dergelijke nauwkeurigheid is in de verste verte niet haalbaar. Een trein dendert en trilt, ‘veegt’ allerlei troep op onderweg, rekt uit en krimpt weer in onder invloed van de krachten die in de trein werkzaam zijn, er zijn temperatuursinvloeden, enzovoort. De lijst is heel lang en dat overschaduwt de praktische uitvoerbaarheid volledig.