De Lorentz-factor

Leid op de meest simpele manier de Lorentz-factor γ af.
Stel ik heb een bepaald referentiestelsel:
In dit stelsel beweegt zich een lichtstraal van A naar B:
De snelheid van de lichtstraal is uiteraard de lichtsnelheid c en de tijd die ‘heerst’ in dit stelsel noem ik τ. Voor de afgelegde weg van A naar B geldt dan:
Dit stelsel passeert een ander stelsel met een snelheid v:
Vanuit dat andere stelsel ziet men uiteraard ook de lichtstraal van A naar B gaan, maar tevens ziet men dat het punt B zich verplaatst terwijl de lichtstraal onderweg is van A naar B. Dus wanneer de lichtstraal aankomt in B heeft B zich een stukje verplaatst en dit punt noem ik B*:
Vanuit dit andere stelsel bezien is de snelheid van de lichtstraal uiteraard ook de lichtsnelheid c (want de lichtsnelheid is voor alle waarnemers gelijk) en de tijd die ‘heerst’ in dit stelsel noem ik t. Voor de afgelegde weg van A naar B* geldt dan:
En voor de verplaatsing van B naar B* kan ik opschrijven:

Pythagoras

Op de driehoek ABB* ga ik de stelling van Pythagoras toepassen:

Hierin ga ik de vergelijkingen (1), (2) en (3) invullen:
Ik stel:
Vergelijking (5) wordt dan:
Tenslotte stel ik nog:

Lorentz

Zodat ik tenslotte kom tot:

De factor γ is de geschiedenis ingegaan als de Lorentz-factor.

In de situatie die ik hierboven helemaal heb uitgewerkt zie je dat de tijden van beide stelsels uiteindelijk met een factor γ uit de pas gaan lopen. Maar ook (bijvoorbeeld) afstanden en massa’s veranderen per waarnemer volgens ditzelfde getal. Daarnaast duikt γ ook op in de transformatieformule’s van andere grootheden zoals frequentie en amplitude, en in de Lorentz-transformaties. Oftewel, wanneer je je in relativiteitstheorie gaat verdiepen dan vliegen de γ’s je al snel om de oren.


Taylor

De Lorentz-factor γ heeft geen echte klassieke tegenhanger, anders dan het getal één. Klassiek is tijd immers gewoon tijd en dit gold ook nog voor een aantal andere zaken. In de tabel met Taylor-reeksen vinden we:

Hiermee kan ik γ ook schrijven als volgt:
Merk op dat de eerste term gelijk is aan de klassieke waarde en alle volgende termen zijn relativistische bijdragen (die pas significant worden wanneer v in de buurt komt van c):

De grafiek van γ als functie van β,
klassiek (de rode lijn) en relativistisch (de groene lijn)