Relativiteitstheorie, vraagstuk 18

Een draad waar een elektrische stroom doorheen loopt genereert een magnetisch veld en dit veld oefent een kracht uit op bewegende elektrische ladingen. Echter, een meebeweger van zo’n elektrische lading kan stellen dat hij/zij niet beweegt (maar dat de draad beweegt) en dat het magnetische veld daarom geen vat heeft op de elektrische lading. Toch wordt er onmiskenbaar een kracht uitgeoefend op de bewegende elektrische lading. Hoe zit dat?

Stel we hebben een draad.

Door deze draad bewegen positieve ladingdragers naar rechts met een snelheid u.

En er bewegen negatieve ladingdragers naar links, ook met een snelheid u, in gelijke aantallen en met gelijke elektrische lading (maar met tegengesteld teken).

De netto ladingsdichtheid is daarom nul en dus is er geen elektrisch veld aanwezig. De netto stroom is niet nul en die stroom genereert een magnetisch veld.

Dit magnetische veld oefent een kracht uit op een passerende elektrische lading (de kracht is naar beneden gericht voor een positieve lading, waar ik hiervan uitga, en naar boven gericht voor een negatieve lading).

Dit is een solide verhaal, maar wie vertelt dit verhaal? Met andere woorden: wie is de waarnemer? Dat is deze vrouw in de groene jurk, zij zit op de draad en al het voorgaande is haar waarneming.

Echter, haar tweelingzus zit op de passerende elektrische lading en zegt: “ik beweeg helemaal niet, jij beweegt!”. En ze vervolgt: “dus dat magnetische veld van jou heeft helemaal geen invloed op mij”. Ook dit is een solide verhaal, ze heeft helemaal gelijk. De dames hebben allebei gelijk! Toch wordt er onmiskenbaar een kracht uitgeoefend op de passerende elektrische lading. Wat is hier aan de hand?

De dames besluiten dit tot op de bodem uit te zoeken en huren twee waarnemers in. De ene waarnemer wordt in een vliegtuig gezet en met een snelheid u naar rechts gestuurd en de andere waarnemer wordt in een vliegtuig gezet en met een snelheid u naar links gestuurd. Ze vliegen dus gelijk op met de positieve - respectievelijk negatieve ladingdragers.

Voor de waarnemer in het rode vliegtuig staan de positieve ladingdragers stil en hij kan daarom op zijn gemak de ladingsdichtheid van deze ladingdragers bepalen.

En voor de waarnemer in het blauwe vliegtuig staan de negatieve ladingdragers stil en hij kan daarom ook op zijn gemak de ladingsdichtheid bepalen, maar dan van de negatieve ladingdragers.

De beide waarnemers koppelen hun meetresultaten terug naar de beide dames: ze meten een lagere ladingsdichtheid dan verwacht. Dan begint er bij de dames (die relativistisch onderlegd zijn) iets te dagen. De vrouw op de draad realiseert zich dat de bewegende ladingdragers een lengtecontractie ondergaan. En niet alleen een contractie van de deeltjes zelf, maar ook van hun onderlinge afstand! Daardoor is voor haar de ladingsdichtheid van zowel de positieve - als de negatieve ladingdragers groter (maar afgezien van het teken zijn beide ladingsdichtheden voor haar gelijk).

Voor de vrouw op de passerende lading is de situatie echter niet symmetrisch. Zij ziet de draad met een snelheid v naar links bewegen. Ook voor haar ondergaan de positieve ladingdragers een lengtecontractie, maar minder dan zoals waargenomen door haar zus want deze ladingen bewegen voor haar met een snelheid u − v.

En de negatieve ladingdragers ondergaan eveneens een lengtecontractie, maar meer dan zoals waargenomen door haar zus want deze ladingen bewegen voor haar met een snelheid u + v.

Per saldo is voor haar de ladingsdichtheid van de draad ongelijk aan nul (in tegenstelling tot de waarneming van haar zus) en is er voor haar wel een elektrisch veld aanwezig rondom de draad! Dit elektrische veld is de oorzaak van de kracht die er op de passerende lading wordt uitgeoefend. Er is ook nog steeds een magnetisch veld aanwezig, maar zoals gezegd deert dat haar niet want zij is immers ‘in rust’ (in haar referentiestelsel uiteraard).

Kan dit kwalitatieve verhaal ook wiskundig gemaakt worden? Uiteraard. Dit is de ladingsdichtheid zoals waargenomen door de waarnemer in het rode vliegtuig en die ladingsdichtheid noem ik λ0:
De waarnemer in het blauwe vliegtuig meet dezelfde ladingsdichtheid, maar dan met een tegengesteld teken:
Voor de vrouw op de draad ondergaat de afstand tussen de ladingdragers een lengtecontractie en de ladingsdichtheden die zij waarneemt zijn:


De γ’s heb ik een index u meegegeven, want dat is de snelheid van de ladingdragers ten opzichte van de draad (waar de vrouw op zit). De totale ladingsdichtheid wordt voor haar de som van beide:
Een ladingsdichtheid van nul betekent ook een elektrische veldsterkte van nul: voor de vrouw op de draad bestaat er geen elektrisch veld. De bewegingen van de positieve - en negatieve ladingsdragers zorgen voor een elektrische stroom:


Hieruit volgt een totale stroom gelijk aan:
Ofschoon de totale ladingsdichtheid nul is, is de totale stroom dat niet, en waar een stroom loopt ontstaat een magnetisch veld. Het magnetische veld rondom een lange draad is:
Hier ga ik de stroom van vergelijking (8) in invullen:
En dit magnetische veld oefent een kracht uit:
Ik ben uitgegaan van een positieve lading en dat levert een kracht op die naar beneden gericht is, daarom het minteken.

Tot zover de waarneming van de vrouw op de draad, nu gaan we kijken door de ogen van de vrouw op de passerende lading. De ladingsdichtheden die zij waarneemt zijn:


De totale ladingsdichtheid wordt voor haar:
Ik ga de γ’s helemaal uitschrijven en ik moet de snelheden u en v uiteraard relativistisch optellen respectievelijk aftrekken:
Het elektrische veld rondom een lange draad is:
Hier ga ik de ladingsdichtheid van vergelijking (15) in invullen:
En dit elektrische veld oefent een kracht uit:
Voor de lichtsnelheid geldt:
Hiermee wordt de vorige vergelijking:
De vrouw op de draad meet een magnetisch veld (en alleen dat) en de vrouw op de passerende lading meet een elektrisch veld. Het quotiënt van de krachten die deze velden voortbrengen is:
En dit is helemaal wat het zou moeten zijn, want krachten loodrecht op de bewegingsrichting (en dat is hier het geval) transformeren middels een factor γ naar een ander inertiaalstelsel (zie deze pagina voor de afleidingen van de transformatievergelijkingen voor krachten). Volgens de vrouw op de draad ondergaat de passerende lading q een pure magnetische kracht (want er is volgens haar geen elektrisch veld). De vrouw op de lading q zegt op haar beurt dat ‘haar’ lading q een pure elektrische kracht ondergaat (want het magnetische veld heeft volgens haar geen vat op ‘haar’ lading omdat die stilstaat).

Volgens de vrouw op de draad

Volgens de vrouw op de lading
Elektrisch veld Dit veld is er niet

Dit veld veroorzaakt de kracht

Magnetisch veld Dit veld veroorzaakt de kracht

Dit veld is er wel, maar doet niets