Zoals de titel van deze paragraaf al aangeeft gaat Einstein het nu hebben over het vermenigvuldigen van tensoren. En met de vorige paragraaf nog helemaal vers in het geheugen (toch?) is dit waarschijnlijk een van de eenvoudigste paragrafen van het hele artikel. Het is een direct vervolg op paragraaf 6, maar dan inzichtverhogend (hoop ik). Goed, het vermenigvuldigen van tensoren dus. In paragraaf 6 vertelde ik al dat de Engelsen het tensor product aanduiden met outer product en hoe heet dit in het Duits? Äuβere Multiplikation (dus net als in het Engels). Wij gaan het ‘gewoon’ hebben over het tensor product. Stel je hebt een tensor van rang a en een tensor van rang b, en die vermenigvuldig je met elkaar, dan krijg je als uitkomst een tensor met rang a + b. Tensoren vermenigvuldigen doe je door het dyadisch product te nemen en dit betekent: alle componenten van de ene tensor stuk voor stuk vermenigvuldigen met alle componenten van de andere tensor. Stel ik heb een tensor van de tweede rang:

En een tensor van de eerste rang (een vector dus): Vervolgens kan ik alle componenten van de tensor A_μν eerst met b₁ vermenigvuldigen, daarna met b₂, dan met b₃ en tenslotte nog met b₄. Op die manier krijg ik vier vlakken met componenten als volgt: En als ik deze vier vlakken als vier plakken achter elkaar zet dan heb ik een kubus met componenten van de nieuw gevormde tensor T. In formulevorm ziet dat er dan zo uit: En ik kon het niet nalaten om toch één keer het symbool voor het tensor product erin te gooien. Ook al wordt die nooit gebruikt, hij staat er wel! Ik heb nu een covariante tensor (lage indices) en een covariante vector (lage index) gebruikt in dit voorbeeld, maar voor een contravariante tensor (hoge indices) en een contravariante vector (hoge index) pakt dit natuurlijk net zo uit, want het uitvoeren van de vermenigvuldiging gaat exact eender. Tot en met drie rangen is een tensor nog te visualiseren als een kubus van getallen, maar voor hogere rangen werkt dit niet meer (om stoer te doen heeft men het dan wel over een hyperkubus, niemand weet wat het voorstelt maar het klinkt wel spannend). Het vermenigvuldigen van de componenten daarentegen verandert niet en het resultaat wordt dan (voor twee contravariante tensoren): Het is uiteraard ook mogelijk om een covariante tensor en een contravariante tensor met elkaar te vermenigvuldigen. Er ontstaat dan een gemengde tensor. Einstein merkt nog op dat het bewijs, dat we hier als resultaat inderdaad een tensor hebben verkregen, volgt uit allerlei vergelijkingen die in de vorige paragraaf langsgekomen zijn. Het bewijs komt uit de volgende vergelijkingen (hoe het tensor product van twee vectoren (tensoren van de eerste rang) een tensor oplevert van de tweede rang): Maar het is ook rechtstreeks te bewijzen uit de transformatieregels: Eigenlijk verwijst hij naar de gehele paragraaf 6 waar we de overstap hebben gemaakt van vectoren (tensoren van de eerste rang) naar ‘echte’ tensoren (rang 2 en hoger). Je kunt een tensor ook verkleinen of, in de meest gangbare term, een contractie uitvoeren (Duits: Verjüngung (verjongen), Engels: contraction (contractie, samentrekking)). Door een covariante index en een contravariante index aan elkaar gelijk te stellen vallen ze tegen elkaar weg en als gevolg hiervan is dan de rang van de tensor 2 lager geworden. Uiteraard kan dit alleen bij gemengde tensoren toegepast worden, omdat die zowel minstens één hoge index als één lage index hebben, maar tegelijkertijd is het ook zo dat dit op alle gemengde tensoren toegepast kan worden. Laten we dit bijvoorbeeld eens toepassen op de tensor van vergelijking (7.5). Eerst stellen we γ gelijk aan α: En vervolgens δ gelijk aan β: Merk op dat ik in dit voorbeeld twee keer achter elkaar de tensor verklein. Ik begon met een tensor van de vierde rang, als tussenresultaat heb ik een tensor van de tweede rang, en ik eindig met een tensor van de nulde rang (een getal). Het bewijs komt voort uit de volgende vergelijkingen (en voor “invariant” kun je hier gewoon “getal” lezen): Of uit de transformatieregel: Er is uiteraard ook de mogelijkheid om naar hartelust te combineren. Indien ik twee tensoren met elkaar vermenigvuldig (dyadisch product) en daarna het resultaat verklein (vooropgesteld dat het resultaat een gemengde tensor is) ontstaat dit: En Einstein noemt deze combi-bewerking gemengde vermenigvuldiging, een kreet die je tegenwoordig nergens meer tegenkomt (ik ben het in elk geval nooit ergens anders tegengekomen). Hiervoor had ik een contravariante tensor van de eerste rang en een covariante tensor van de tweede rang, maar ik kan natuurlijk ook uitgaan van twee tensoren van de tweede rang waarbij de ene tensor contravariant en de andere tensor covariant is. De verkleining kan dan ook twee keer uitgevoerd worden: Hier doe ik hetzelfde als volgens vergelijking (7.6). We borduren even voort op wat we net in vergelijking (7.8) gedaan hebben. Uit twee tensoren A_μν en B^στ is uiteindelijk D voortgekomen. D is een tensor van de nulde rang (geen indices), oftewel D is invariant, oftewel D is een scalar, oftewel D is een getal. De omgekeerde redenering is ook geldig: indien D invariant is en B^στ is een tensor, dan moet A_μν ook een tensor zijn. Stel we hebben een tensor A_μν die transformeert naar A_στ' en een tensor B^μν die transformeert naar B^στ', dan geldt: Er geldt ook: En als we dan vergelijking (7.10) in vergelijking (7.9) stoppen krijgen we: En hier staat hetzelfde als in vergelijking (6.17/E11), dus A is onmiskenbaar een tensor. In dit voorbeeld is A een tensor van de tweede rang, maar dit geldt natuurlijk op analoge wijze voor een tensor van iedere willekeurige rang. In plaats van de tensor B^μν kun je ook twee vectoren C^μ en D^ν neerschrijven, want die twee vectoren vormen middels het tensor product een nieuwe tensor B^μν = C^μ D^ν. Einstein had het zojuist al over een gemengde vermenigvuldiging en nu noemt hij het wat algemener een gemengde operatie, want door te verkleinen neemt de rang van de tensor af en door het dyadisch product te nemen neemt de rang van de tensor toe. Enigszins vaag gesteld zorgen inwendig-achtige producten voor verlaging van rang en uitwendig-achtige producten (dyadisch) voor een verhoging van rang.

STOP!

Hier maken we een hele belangrijke pas op de plaats. Probeer datgene wat we tot nu toe in deze paragraaf gedaan hebben eens in grote lijnen te bekijken. We zijn wel lekker bezig om tensoren met elkaar te ‘vermenigvuldigen’, maar ongemerkt hebben we twee fundamenteel verschillende varianten op het tensor product. Er zijn eigenlijk twee soorten tensor producten, er is een inwendige variant en een uitwendige variant. Bij het tensor inproduct doe ik iets inwendigs, de tensor keert in zichzelf, zijn rang daalt. Dit herken ik doordat er gesommeerd wordt over een index, de dummy index. Stel ik heb zoiets: Hier staat eigenlijk: Oftewel, voluit geschreven: Kortom: Door de rangen van de beide tensoren op te tellen en er dan twee vanaf te trekken voor iedere index waarover gesommeerd wordt krijg je de rang van de resulterende tensor. In dit voorbeeld: 1 + 1 − 2 = 0 (een scalar). Indien er ergens een index tweemaal voorkomt dan moet er over die index gesommeerd worden (sommatieconventie van Einstein). Dus indien tweemaal dezelfde index aanwezig is:

• dan betekent dat: sommeren over die index,
• dan betekent dat: ‘iets inwendigs doen’,
• dan betekent dat: het tensor inproduct uitvoeren,
• dan betekent dat: twee omlaag in rang,
• dan betekent dat: dat er eigenlijk een ∙ (punt) staat tussen de tensoren die deelnemen aan de bewerking,
• dan betekent dat: dat de punt weggelaten wordt omdat die geen informatie meer toevoegt,
• dan betekent dat ook dat een tensor-beginneling al heel snel de weg kwijt is helaas.

Indien je dus een index wel tweemaal ziet staan in een tensorvergelijking, dan moet je proberen de punten die hierboven staan in een flits door je grijze massa te laten gaan.

En naast de inwendige variant is er dus ook de uitwendige variant, het tensor uitproduct. Bij het tensor uitproduct doe ik iets uitwendigs, de tensor keert zich naar buiten, hij explodeert, zijn rang stijgt. Dit herken ik doordat er geen index tweemaal voorkomt. Stel ik heb zoiets: Oftewel, uitgeschreven in componenten: Kortom: Door de rangen van de beide tensoren op te tellen krijg je de rang van de resulterende tensor. In dit voorbeeld: 1 + 1 = 2. Indien geen enkele index tweemaal voorkomt dan moet er dyadisch vermenigvuldigd worden. Dus indien niet tweemaal dezelfde index aanwezig is:

• dan betekent dat: alle componenten dyadisch vermenigvuldigen,
• dan betekent dat: ‘iets uitwendigs doen’,
• dan betekent dat: het tensor uitproduct uitvoeren,
• dan betekent dat: omhoog in rang,
• dan betekent dat: dat er eigenlijk een (dyade) staat tussen de tensoren die deelnemen aan de bewerking,
• dan betekent dat: dat de dyade weggelaten wordt omdat die geen informatie meer toevoegt,
• dan betekent dat ook dat een tensor-beginneling al heel snel de weg (weer) kwijt is helaas.

Indien je dus een index niet tweemaal ziet staan in een tensorvergelijking, dan moet je proberen de punten die hierboven staan in een flits door je grijze massa te laten gaan. Nu pakken we de draad van het artikel weer op en ik zet vergelijking (7.11) hier weer neer die ik voor dit intermezzo ook al had neergeschreven. In plaats van de tensor B^μν kun je ook twee vectoren C^μ en D^ν opschrijven, en voor B^στ' de vectoren C^σ' en D^τ'. Maar wat nou als de vectoren C en D dezelfde vectoren zijn? Als ik hierboven kijk dan zie ik dat er aan het gedeelte dat tussen haakjes staat niets verandert of ik nou de tensor B in de vergelijking zet of de vectoren C en D. Echter, indien C en D dezelfde vectoren zijn, dan mag ik ook de indices μ en ν verwisselen want de μ^e component van de ene vector vermenigvuldigen met de ν^e component van de andere vector is gelijk aan de ν^e component vermenigvuldigen met de μ^e component. En daar volgt dan uit dat A_μν = A_νμ, oftewel, A is een covariante symmetrische tensor (zoals we al gezien hebben in paragraaf 4 met de metrische tensor g).