Voorbij Einstein | Wiskunde, natuurkunde en filosofie | De Taylor-reeks van<br>f (x) = (1 + x)^p

WETENSCHAPPELIJKE BOEKEN

Home

Voorbeelden van E = mc²

De pijn die je voelt wanneer je in een zwart gat valt

De versnelling van een baksteen die in een zwart gat valt

De snelheid van een baksteen die in een zwart gat valt

De Euler-Lagrange-vergelijking

De baan van een baksteen bij een zwart gat

De Taylor-reeks van f (x) = tan (ax)

De integralen van f (x) = sin² x/(1 + a cos x)²

De integraal van f (x) = 1/(x² (ax² + bx + c))

De invaltijd van een baksteen die in een zwart gat valt

De integraal van f (x) = x^m ln (ax)

De integraal van f (x) = x^p ln (ax)

De versnelling van een baksteen die in een zwart gat valt

De versnelling van een baksteen die in een zwart gat valt

De naam van een zwart gat

De integraal van f (x) = x^p cos (ax)

De integraal van f (x) = x^p sin (ax)

Leid de Boltzmann-verdeling af

De integraal van f (x) = (ax² + bx + c) e^{− (ax² + bx + c)}

De integraal van f (x) = x² e^−ax²

Bereken de energie in een condensator

Bereken de energie in een spoel

De snelheid van een baksteen die in een zwart gat valt

De invaltijd van een baksteen die in een zwart gat valt

De snelheid van een baksteen die in een zwart gat valt

De afgeleide van f (x) = x!

Kabouters en de uitdijing van het heelal

De Riemann-zeta-functie

Hoe manifesteert zich ruimtetijdkromming?

Bernoulli-getallen

De faculteitsfunctie

Waarom Homo Sapiens?

De trapeziummethode

De integraal van f (x) = xⁱ

De integraal van f (x) = sin ln (ax)

De integraal van f (x) = cos ln (ax)

De integraal van f (x) = 1/(ax³ + bx² + cx + d)^1/2 (D < 0)

LaTeX symbolen: wiskundige ruimtes

Afleiding van de energie-impuls-relatie

De reis naar de werkelijkheid van Rolando Toro

De Excel bestanden die gebruikt zijn voor deze website

De Python code van deze website

De Natuur spreekt: Het Woud

De Natuur spreekt: De Golf

Het probleem van de gevangenen

Mijn nieuwe fiets

Relativiteitstheorie

Kwantummechanica

Elektriciteit en magnetisme

Algemene natuurkunde

Boeken over natuurkunde te koop

De grote vragen in het leven

De illusies die wij leven

Reizigers naar de werkelijkheid

Gedichten over Liefde

Recent toegevoegde pagina’s

Kalender van de jaren 0001 − 3000 met weekdagen

Index: personen

Index: trefwoorden

Notatie en terminologie

Excel bestanden

Fysische gegevens

Woordenboek: Nederlands - Engels

Woordenboek: Engels - Nederlands

Natuurkundeclub Gℏc

Natuurkundeclub Gℏc (openbare pagina)

Natuurkundeclub Gℏc (besloten pagina)

Stamboom Contact

De Taylor-reeks van
f (x) = (1 + x)^p

De grafiek van f (x) = (1 + x)^p voor p = −1.5 (de rode lijn),
p = −0.5 (de groene lijn) en p = 0.5 (de blauwe lijn)

Om te beginnen ga ik eerst tien afgeleiden bepalen:

Vervolgens ga ik bij de functie en zijn afgeleiden de y-waarde bepalen voor x = 0:

De polynoom-coëfficiënten worden dan:

De regelmaat hierin is:

Hetgeen ons brengt bij deze reeks:

Het is belangrijk om te kijken naar de convergentie van deze reeks, want indien de reeks divergeert dan hebben we er niets aan. De belangrijkste voorwaarde voor convergentie is indien de termen uitdoven als het ware, dus als een term voor grote waarden van n kleiner is dan de voorgaande term (in absolute waarden gesproken uiteraard):

Voor deze reeks ziet dat er als volgt uit:

Dit moet kleiner dan één zijn, oftewel | x | < 1. Hier hoort wel een kanttekening bij, want indien p een positief geheel getal is dan levert de reeks hetzelfde op als wanneer je simpelweg de haakjes weg zou werken. In dat geval is er helemaal geen beperking voor de waarde van x, de reeks werkt altijd. Ik heb hierboven ook de limiet genomen voor n gaat naar oneindig, maar in het geval dat p een positief geheel getal is dan zijn er slechts p + 1 termen en is het onzinnig om de limiet te nemen voor n gaat naar oneindig want voor n > p + 1 is iedere term gelijk aan nul. Kortom, de zojuist gevonden convergentiebeperking geldt alleen indien p geen positief geheel getal is.

De grafiek van f (x) met daaroverheen de Taylor-reeks voor p = −1.5 (de oranje lijn),
p = −0.5 (de paarse lijn) en p = 0.5 (de grijze lijn),
100 termen meegenomen

Ik zoom nog even in op het convergentiegebied:

De grafiek van f (x) met daaroverheen de Taylor-reeks voor p = −1.5 (de oranje lijn),
p = −0.5 (de paarse lijn) en p = 0.5 (de grijze lijn),
100 termen meegenomen

Door naar de volgende reeks: de Taylor-reeks van
f (x) = (1 + x)^p

Terug naar de vorige reeks: de Taylor-reeks van
f (x) = ln (a − x)

Tabel met Taylor-reeksen

Tabel met integralen

Tabel met afgeleiden

Differentiëren

Wiskunde algemeen

De Taylor-reeksen van
f (x) = (a + x)^p

De afgeleide van
f (x) = xⁿ

De integraal van
f (x) = (x + a)^p

Relativiteitstheorie basic, hoofdstuk 5: versnelling

Wanneer heb je voor het laatst écht iets meegemaakt?

De integraal van
f (x) = x²/(ax + b)^1/2

De integraal van
f (x) = 1/(1 + sin (ax))

De integraal van
f (x) = e^−x²

De integralen van
f (x) = xⁿ

Vectoren, vraagstuk 11

Vectoren, vraagstuk 49

Vectoren, vraagstuk 87

Hoe vormt zich de Ricci-tensor?

De Taylor-reeks van
f (x) = 1/(1 − a² sin² x)^1/2

De Taylor-reeksen van
f (x) = e^±ax²

Uitleg artikel algemene relativiteitstheorie: paragraaf 9

Voorbeelden van E = mc²

De pijn die je voelt wanneer je in een zwart gat valt

De versnelling van een baksteen die in een zwart gat valt

De snelheid van een baksteen die in een zwart gat valt

De Euler-Lagrange-vergelijking

De baan van een baksteen bij een zwart gat

De Taylor-reeks van f (x) = tan (ax)

De integralen van f (x) = sin² x/(1 + a cos x)²

De integraal van f (x) = 1/(x² (ax² + bx + c))

De invaltijd van een baksteen die in een zwart gat valt

Naar de overzichtspagina wiskunde

Naar de overzichtspagina natuurkunde

Naar de overzichtspagina filosofie

Doneer enkele euro’s

Wetenschappelijke boeken te koop

Alle rechten voorbehouden / All rights reserved © Karel de Vlieger 2010 − 2024