Onafhankelijke componenten in de Riemann-tensor

Hoeveel onafhankelijke componenten heeft de Riemann-tensor?

Dit is de Riemann-tensor:

In het vorige vraagstuk vond ik de Bianchi-identiteit:

Dit impliceert dat er een afhankelijkheid zit in de componenten van de Riemann-tensor. En niet eentje, maar een heleboel. In twee dimensies zijn er maar liefst 24 = 16 afhankelijke relaties en die ga ik allemaal uitschrijven:

Door de anti-symmetrieën in de Riemann-tensor zijn alle componenten nul waarvan de eerste twee - of de laatste twee indices gelijk zijn, dus die componenten verwijder ik:
Nu zie ik dat de eerste drie vergelijkingen gelijk zijn aan elkaar en ook de laatste drie, dus ik kan nog verder uitdunnen:
In dit vraagstuk heb ik uitgebreid gekeken naar het aantal mathematisch verschillende componenten als gevolg van de diverse symmetrieën. Voor twee dimensies kwam ik toen tot het volgende:
En dit bevestigt wat ik net ontdekt heb, oftewel, ik vergaar geen nieuwe informatie (helaas).

In drie dimensies zijn er 34 = 81 afhankelijke relaties en die ga ik ook allemaal uitschrijven:




Alle componenten waarvan de eerste twee - of de laatste twee indices gelijk zijn verwijder ik, want die zijn gelijk aan nul:



En ik verwijder weer alle dubbele vergelijkingen:
Uit dit vraagstuk kwam het volgende aantal mathematisch verschillende componenten tevoorschijn in drie dimensies:
En dit bevestigt wederom precies wat ik net ontdekt heb, oftewel, ik vergaar weer geen nieuwe informatie (helaas).

In vier dimensies zijn er 44 = 256 afhankelijke relaties en ook die ga ik allemaal uitschrijven:















Alle componenten waarvan de eerste twee - of de laatste twee indices gelijk zijn verwijder ik:












En ik verwijder weer alle dubbele vergelijkingen:




Uit dit vraagstuk kwam het volgende aantal mathematisch verschillende componenten tevoorschijn in vier dimensies:
Wanneer ik alle relaties die volgen uit de Bianchi-identiteit vergelijk met het bovenstaande overzicht (dat volgt uit de symmetrieën van de Riemann-tensor), en vervolgens alles tegen elkaar wegstreep wat tweemaal voorkomt dan blijft dit over:

Die acht Bianchi-relaties, laat ik ze zo maar even noemen, kan ik nog verder uitdunnen. Want door in één Bianchi-relatie bij alle tensoren de laatste twee indices te verwisselen (anti-symmetrie) dan verandert er in essentie niets. Oftewel, de eerste relatie is gelijk aan de tweede, de derde is gelijk aan de vierde, de vijfde komt overeen met de zesde en de zevende met de achtste. De tweede, vierde, zesde en achtste kunnen daarom weg:
Ik verwijder diezelfde componenten ook uit het symmetrieënoverzicht:
Wanneer ik in de Bianchi-relaties de indices cyclisch permuteer, dus 0 → 1, 1 → 2, 2 → 3 en 3 → 0, dan ontstaat uit de eerste relatie de tweede, uit de tweede de derde, de derde wordt de vierde en de vierde de eerste. Met andere woorden, die vier Bianchi-relaties zijn cyclische permutaties van één vergelijking. En het wordt nog boeiender, want indien ik de componenten uit de Bianchi-relaties opzoek in het symmetrieënoverzicht dan bevindt iedere component zich telkens in een ander rijtje. Conclusie: de Bianchi-identiteit zorgt voor een extra vergelijking die drie symmetrierelaties aan elkaar koppelt en het aantal onafhankelijke componenten met één vermindert (in vier dimensies wel te verstaan).

Ik neem de tabel over van de pagina waar ik het aantal mathematisch unieke componenten in de Riemann-tensor heb uitgezocht en ik voeg er een rij aan toe:
De Riemann-tensor
Aantal dimensies 2 3 4
Aantal componenten 24 = 16 34 = 81 44 = 256
Aantal componenten dat nul is als gevolg van
de beide anti-symmetrieën
12 45 112
Aantal resterende componenten 4 36 144
Aantal mathematisch verschillende groepen 2 12 42
Aantal mathematisch verschillende groepen
(afgezien van het teken)
1 6 21
Aantal onafhankelijke componenten 1 6 20
Hadden we dit ook allemaal vooraf kunnen bedenken? Uiteraard. Het aantal mathematisch unieke componenten p in de Riemann-tensor is:
Dit zijn niet allemaal onafhankelijke componenten, want de Bianchi-identiteit voegt extra afhankelijkheden q toe:
Het aantal onafhankelijk componenten m is:
Wanneer ik achtereenvolgens n = 2, 3, 4 invul dan krijg ik:


Hetgeen helemaal overeenkomt met de laatste rij van bovenstaande tabel. Het antwoord op de vraag hoeveel onafhankelijke componenten er in de Riemann-tensor zitten is dus (met n als het aantal dimensies):