Mathematisch verschillende componenten in de Riemann-tensor

Hoeveel mathematisch verschillende componenten, afgezien van het teken, heeft de Riemann-tensor maximaal, wanneer je de componenten die nul zijn niet meetelt?

Dit is de Riemann-tensor:

Ik ga verder werken met de Riemann-tensor in volledig covariante vorm:
Het aantal componenten van de Riemann-tensor is (sterk) afhankelijk van het aantal dimensies waarin ik aan het werk ben. De Riemann-tensor is van de vierde rang en het aantal componenten is daarom gelijk aan het aantal dimensies tot de macht vier: in twee dimensies 24 = 16, in drie dimensies 34 = 81 en in vier dimensies 44 = 256. Laat ik met het eenvoudigste geval beginnen, ik ga uit van twee dimensies. Dan zijn er dus 16 componenten en die schrijf ik even allemaal op:
De Riemann-tensor kent drie symmetrieën (zie deze pagina):
De componenten zijn identiek bij paarsgewijze verwisseling van de eerste twee - en de laatste twee indices:
Verwisseling van de eerste twee indices betekent een tekenwisseling:
De anti-symmetrie in de eerste twee indices betekent dat de betreffende component nul is indien de eerste twee indices gelijk zijn:
Ik gooi alle componenten die nul zijn uit de lijst en dan blijft dit over:
In twee dimensies zijn van de zestien componenten er twaalf gelijk aan nul en de resterende vier zijn, afgezien van het teken, gelijk aan elkaar.

In drie dimensies zijn er 34 = 81 componenten:




Daar gaan we weer, de componenten zijn identiek bij paarsgewijze verwisseling van de eerste twee - en de laatste twee indices:


Verwisseling van de eerste twee indices betekent een tekenwisseling:

De anti-symmetrie in de eerste twee indices betekent dat de betreffende component nul is indien de eerste twee indices gelijk zijn:

Ik gooi alle componenten die nul zijn uit de lijst en dan blijft dit over:
In drie dimensies zijn van de 81 componenten er 45 gelijk aan nul en de resterende 36 zijn, afgezien van het teken, in zes groepen te verdelen die mathematisch verschillend zijn.

Dan onderzoek ik dit natuurlijk ook nog ‘even’ voor vier dimensies, in dat geval zijn er 44 = 256 componenten:















Ik pak het nu iets anders aan. De anti-symmetrie in de eerste twee indices betekent dat de betreffende component nul is indien de eerste twee indices gelijk zijn en die componenten gooi ik nu gelijk uit de lijst, dan blijft dit over:











Zo zijn we alvast 64 componenten kwijt en hebben we er nog 192 over. Er is ook anti-symmetrie in de laatste twee indices en dat betekent dat de betreffende component nul is indien de laatste twee indices gelijk zijn en die componenten gooi ik ook alvast uit de lijst. Dan blijft dit over:








Op deze manier verdwijnen er nog eens 48 componenten en blijven er 144 over. De componenten zijn identiek bij paarsgewijze verwisseling van de eerste twee - en de laatste twee indices:




Verwisseling van de eerste twee indices betekent een tekenwisseling:
In vier dimensies zijn van de 256 componenten er 112 gelijk aan nul en de resterende 144 zijn, afgezien van het teken, in 21 groepen te verdelen die mathematisch verschillend zijn.

Dat brengt ons bij dit overzicht:
De Riemann-tensor
Aantal dimensies 2 3 4
Aantal componenten 24 = 16 34 = 81 44 = 256
Aantal componenten dat nul is als gevolg van
de beide anti-symmetrieën
12 45 112
Aantal resterende componenten 4 36 144
Aantal mathematisch verschillende groepen 2 12 42
Aantal mathematisch verschillende groepen
(afgezien van het teken)
1 6 21
Hadden we dit ook allemaal vooraf kunnen bedenken? Uiteraard. De Riemann-tensor is anti-symmetrisch in de eerste twee indices en in de laatste twee indices, en symmetrisch voor wat betreft deze twee paren indices. Je kunt de Riemann-tensor dus zien als een symmetrische tensor die is opgebouwd uit anti-symmetrische tensoren. In vier dimensies ziet dat er zo uit:
Het aantal onafhankelijk componenten p in een symmetrische n × n tensor is:
Het aantal onafhankelijk componenten q in een anti-symmetrische n × n tensor is:
Voor de Riemann-tensor geldt daarom (vergelijking (6) substitueren in vergelijking (5) waarbij n = q):
Wanneer ik achtereenvolgens n = 2, 3, 4 invul dan krijg ik:


Hetgeen helemaal overeenkomt met de laatste rij van bovenstaande tabel. Het antwoord op de vraag hoeveel mathematisch verschillende componenten er maximaal in de Riemann-tensor zitten, wanneer je de componenten die nul zijn niet meetelt en afgezien van het teken van de componenten, is dus (met n als het aantal dimensies):