Tensoren, vraagstuk 8

Toon alle symmetrieën van de Riemann-tensor aan.

Dit is de Riemann-tensor:

De Riemann-tensor volgens vergelijking (1) is gegeven in Christoffel-symbolen. De definitie van de Christoffel-symbolen van de eerste soort is:

En de definitie van de Christoffel-symbolen van de tweede soort is:
Hieruit volgt:
Ik schrijf nu allereerst de Riemann-tensor in volledig covariante vorm:
Hiermee ga ik knutselen:
Met behulp van de vergelijkingen (3) en (4) kan ik vergelijking (6) verder verbouwen:
Om de chaos compleet te maken betrek ik vergelijking (2) erbij en ga ik vervolgens haakjes wegwerken:
Gelukkig is er ook goed nieuws, want we kunnen termen wegstrepen of samennemen:
Ik herschik de termen nog een beetje en ik zet ze onder elkaar:
Bij wat nu komen gaat moeten we de volgende zaken goed voor ogen houden: Wat gebeurt er wanneer ik de eerste - en de tweede index van de Riemann-tensor verwissel:
De eerste conclusie is dat de Riemann-tensor anti-symmetrisch is in de eerste twee indices (symmetrisch betekent dat je probleemloos twee indices mag verwisselen en anti-symmetrisch betekent dat bij verwisseling van twee indices er een tekenwisseling plaatsvindt).

Wat gebeurt er wanneer ik de derde - en de vierde index verwissel:
De tweede conclusie is dat de Riemann-tensor ook anti-symmetrisch is in de laatste twee indices (dit volgt ook vrij simpel uit de Riemann-tensor in gemengde vorm, zie deze pagina).

Wat gebeurt er wanneer ik de eerste twee - en de laatste twee indices paarsgewijs verwissel:
De derde conclusie is dat de Riemann-tensor symmetrisch is in het eerste paar - en het tweede paar indices.

Samengevat:


Of omgekeerd:
Een logische vraag is natuurlijk (vind ik) of dit allemaal net zo uitpakt voor de gemengde vorm van de Riemann-tensor, want ik heb deze symmetrieën immers afgeleid voor de Riemann-tensor in volledig covariante vorm terwijl de Riemann-tensor in het ‘dagelijks gebruik’ in gemengde vorm langskomt. Hiervoor kwam ik bijvoorbeeld als eerste tot de conclusie dat de covariante Riemann-tensor anti-symmetrisch is in de eerste twee indices. Wanneer ik dat rechtstreeks vertaal naar de Riemann-tensor in gemengde vorm dan zou dit de voorliggende vraag zijn:
Echter, op deze manier vergelijk ik appels met peren, omdat de indices α en β in het linkerlid en het rechterlid op verschillende hoogte staan. Kortom, dit is niet de goede vraag. Ik moet de vraag zo stellen dat de indexnotatie klopt:
Dit is een zinvolle vraag. Vervolgens verbouw ik de Riemann-tensor in het rechterlid naar de covariante vorm:
Door de eerste twee indices te verwisselen wisselt het teken als gevolg van de anti-symmetrie en ik knutsel nog wat verder:
En zo klopt het inderdaad. Vanaf vergelijking (17) had ik het ook als volgt kunnen doen:
Ook op deze manier klopt de anti-symmetrie waarbij de appels de appels en de peren de peren blijven.

De tweede conclusie is dat de Riemann-tensor ook anti-symmetrisch is in de laatste twee indices, en zoals reeds gezegd volgt dit vrij simpel uit de Riemann-tensor in gemengde vorm (zie deze pagina).

Tot slot de symmetrie van de paarsgewijze verwisseling van de eerste twee - en de laatste twee indices. Dat leidt tot deze vraag:
Ook deze vraagstelling leidt tot een conflict tussen de appels en de peren. Ik moet wederom de vraag zo stellen dat de indexnotatie klopt:
Dit is weer een zinvolle vraag. Nu wordt het een herhaling van zetten, ik verbouw de Riemann-tensor in het rechterlid naar de covariante vorm en ik ga knutselen:
Dat brengt ons bij dit overzicht:
Symmetrieën in de Riemann-tensor
Gemengde vorm Covariante vorm
Lees ook: