Vectoren, vraagstuk 96

Hoe bepaal je de covariante - en contravariante componenten van een vector?
Voor het gemak ga ik uit van een tweedimensionale ruimte. Ik heb een x-as en een y-as en een vector v met grootte r. De hoek die de beide assen met elkaar maken is α en de hoek die de vector maakt met één der assen, ik heb gekozen voor de x-as, is β.
Om de covariante componenten van deze vector te bepalen construeer ik twee loodlijnen richting de beide assen.
De covariante componenten zijn dan:

Met behulp van de som-/verschilformules uit de goniometrie wordt vergelijking (2):
Om de contravariante componenten te bepalen construeer ik twee lijnen evenwijdig aan de beide assen.
Voor het verschil van de beide x-componenten kan ik schrijven:
En voor het verschil van de beide y-componenten kan ik schrijven:
Vergelijking (1) vul ik in in vergelijking (4) en (3) in (5):

Tenslotte vul ik vergelijking (7) in in vergelijking (6) en vice versa:

Aldus komen we tot het volgende overzicht:
x-component y-component
Covariant
Contravariant
Merk op dat indien de assen loodrecht op elkaar staan (α = π/2) dat het verschil tussen covariant en contravariant dan verdwijnt:



En merk ook op dat indien α = 0 of α = π dat dan de basisvectoren niet meer onafhankelijk zijn (de assen liggen in elkaars verlengde) en de boel perfect in het honderd loopt (de cotangens en de cosecans worden oneindig).



Merk tenslotte ook nog op dat voor een x-basisvector (β = 0, r = 1) de covariante x-component en de contravariante x-component gelijk zijn, namelijk xv = xv = 1.



En omgekeerd geldt ook dat voor een y-basisvector (β = α, r = 1) de covariante y-component en de contravariante y-component gelijk zijn, namelijk yv = yv = 1. Hieruit blijkt weer dat basisvectoren covariant zijn.