Hoe bepaal je de covariante - en contravariante componenten van een
vector?
Voor het gemak ga ik uit van een tweedimensionale ruimte.
Ik heb een x-as en een y-as en een
vector
v met grootte r.
De hoek die de beide assen met elkaar maken is α en de hoek die de
vector maakt met één der assen, ik heb
gekozen voor de x-as, is β.
Om de covariante componenten van deze
vector
te bepalen construeer ik twee loodlijnen richting de beide assen.
De covariante componenten zijn dan:
Met behulp van de
som-/verschilformules
uit de
goniometrie wordt vergelijking (2):
Om de contravariante componenten te bepalen construeer ik twee lijnen evenwijdig aan de beide assen.
Voor het verschil van de beide x-componenten kan ik schrijven:
En voor het verschil van de beide y-componenten kan ik schrijven:
Vergelijking (1) vul ik in in vergelijking (4) en (3) in (5):
Tenslotte vul ik vergelijking (7) in in vergelijking (6) en vice versa:
Aldus komen we tot het volgende overzicht:
 |
x-component |
y-component |
| Covariant |
 |
 |
| Contravariant |
 |
 |
Merk op dat indien de assen loodrecht op elkaar staan (α = π/2) dat het verschil tussen covariant
en contravariant dan verdwijnt:
En merk ook op dat indien α = 0 of α = π dat dan de basisvectoren niet meer onafhankelijk zijn
(de assen liggen in elkaars verlengde) en de boel perfect in het honderd loopt
(de
cotangens en de
cosecans worden oneindig).
Merk tenslotte ook nog op dat voor een x-basisvector (β = 0, r = 1) de covariante x-component en de contravariante
x-component gelijk zijn, namelijk x
v = x
v = 1.
En omgekeerd geldt ook dat voor een y-basisvector (β = α, r = 1) de covariante y-component en de contravariante
y-component gelijk zijn, namelijk y
v = y
v = 1.
Hieruit blijkt weer dat basisvectoren covariant zijn.
