Vectoren, vraagstuk 91
Door een bol met straal a is een cilindervormig gat geboord met straal b (b < a) waardoor een
ringvormig object ontstaat.
- Bereken de inhoud van de ring.
- Bereken de oppervlakte van het overgebleven deel van het boloppervlak.
De bol met het cilindervormige gat
-
Bereken de inhoud van de ring.
Voor de bol geldt:Mijn regel is: dit is een omwentelingslichaam om de z-as dus over naar cilindercoördinaten:
Voor de relatie tussen r en ζ geldt:
Waardoor de grenzen voor r worden:
Dan is het volume:
Het volume van de ring als functie van b, a = 1 -
Bereken de oppervlakte van het overgebleven deel van het boloppervlak.
Voor het oppervlak S kan ik schrijven:Ik kan ζ schrijven als functie van r:
En hier heb ik zomaar alle negatieve waarden van ζ verwijderd (omdat ik de wortel erin gebracht heb). Dat moeten we even in ons achterhoofd houden. De parametrisering van S is dan:
Door partieel te differentiëren verkrijg ik twee raakvectoren aan het oppervlak:
De vector dA volgt uit het uitwendig product van de raakvectoren:
De vector dA representeert een stukje oppervlak dA en die wil ik weten:
Door alle stukjes dA te integreren over het totale oppervlak S kom ik aan de oppervlakte van S. De factor twee voor de integraal komt erbij omdat ik hierboven alle negatieve waarden van ζ buitenspel heb gezet en dat corrigeer ik nu op deze manier:
Het oppervlak van de ring als functie van b, a = 1
Door naar het volgende vraagstuk: vectoren, vraagstuk 92
Terug naar het vorige vraagstuk: vectoren, vraagstuk 90
Naar de overzichtspagina met vraagstukken
Vraagstukken xref voor de UT
De integraal van
De integraal van
De integraal van
De integraal van
De integralen van
Vectoren, vraagstuk 54
Tabel met Taylor-reeksen
De Taylor-reeks van
De stelling van Gauss
Relativiteitstheorie
Uitleg artikel algemene relativiteitstheorie: paragraaf 14
De transformatievergelijkingen voor impuls
Wat maakt een zwart gat tot een zwart gat?
De omtrek van een planeetbaan
De energie in een spoel
De illusie dat ik weet wat goed is voor anderen
Reizigers naar de werkelijkheid
Solozingen
De Natuur spreekt: Home/Thuis
Voorbeelden van E = mc2
De pijn die je voelt wanneer je in een zwart gat valt
De versnelling van een baksteen die in een zwart gat valt
De snelheid van een baksteen die in een zwart gat valt
De Euler-Lagrange-vergelijking
De baan van een baksteen bij een zwart gat
De Taylor-reeks van f (x) = tan (ax)
De integralen van f (x) = sin2 x/(1 + a cos x)2
De integraal van f (x) = 1/(x2 (ax2 + bx + c))
De invaltijd van een baksteen die in een zwart gat valt
Naar de overzichtspagina wiskunde
Naar de overzichtspagina natuurkunde
Naar de overzichtspagina filosofie
Doneer enkele euro’s
Wetenschappelijke boeken te koop
Lezingen