Vectoren, vraagstuk 78
Onderzoek van de volgende vectorvelden of ze conservatief zijn door na te gaan of er een potentiaalfunctie is:
-
Een vectorveld is conservatief indien het de gradiënt is van een scalarveld:
Het vectorveld vIn een dergelijk geval is het scalarveld G de potentiaalfunctie van v. Deze potentiaalfunctie gaan we nu opzoeken. Uit de partiële afgeleide van het scalarveld G naar x volgt:
Door integratie verkrijg ik:
Omdat c verdwijnt bij het differentiëren naar x kan het niet anders dan dat c enkel een functie van y en z is:
Voor G kan ik dus schrijven:
Uit de partiële afgeleide van het scalarveld G naar y volgt:
Door integratie verkrijg ik:
Omdat c verdwijnt bij het differentiëren naar y kan het niet anders dan dat c enkel een functie van x en z is:
Een deel van deze functie zijn we hiervoor al tegengekomen, namelijk zx, en de rest kan dan enkel nog een functie van z zijn:
Voor G kan ik nu dus schrijven:
Tenslotte volgt uit de partiële afgeleide van het scalarveld G naar z:
Door integratie verkrijg ik:
De x-y-z-constructies die hier in staan zijn helemaal in overeenstemming met wat we al gevonden hadden voor G. De constante c is in dit geval dus een ‘gewoon’ getal (zoals het zou moeten zijn). De uiteindelijke beschrijving van het scalarveld is:
Waarmee aangetoond is dat het veld v conservatief is.
-
We gaan opnieuw de procedure doorlopen die we hiervoor gevolgd hebben om de potentiaalfunctie van w te vinden. Uit de partiële afgeleide van het scalarveld G naar x volgt:
Het vectorveld vDoor integratie verkrijg ik:
Omdat c verdwijnt bij het differentiëren naar x kan het niet anders dan dat c enkel een functie van y en z is:
Voor G kan ik dus schrijven:
Uit de partiële afgeleide van het scalarveld G naar y volgt:
Door integratie verkrijg ik:
Omdat c verdwijnt bij het differentiëren naar y kan het niet anders dan dat c enkel een functie van x en z is:
Een deel van deze functie zijn we hiervoor al tegengekomen, namelijk zx, en de rest kan dan enkel nog een functie van z zijn:
Voor G kan ik nu dus schrijven:
Tenslotte volgt uit de partiële afgeleide van het scalarveld G naar z:
Door integratie verkrijg ik:
Maar nu is er een kink in de kabel. De x-y-z-constructies die hier in staan zijn niet in overeenstemming met wat we al gevonden hadden voor G (de term xz tegenover de term −xz). Dit veld w is daarom niet conservatief.
Door naar het volgende vraagstuk: vectoren, vraagstuk 79
Terug naar het vorige vraagstuk: vectoren, vraagstuk 77
Naar de overzichtspagina met vraagstukken
Vraagstukken xref voor de UT
De integraal van
De integraal van
De integraal van
De integraal van
De integralen van
Vectoren, vraagstuk 60
Bereken de covariante - en contravariante componenten
Tabel met Taylor-reeksen
De Taylor-reeks van
De stelling van Gauss
Relativiteitstheorie basic, hoofdstuk 5: versnelling
Uitleg artikel algemene relativiteitstheorie: paragraaf 19
Afleiding van de Schwarzschild-oplossing
De invaltijd van een baksteen die in een zwart gat valt
Kwantummechanica
Oplossing voor de algemene golfvergelijking
De illusie van de recessie
De reis naar de werkelijkheid van Tenzin Gyatso (de 14e Dalai Lama)
Bruiloft in Marokko
De Natuur spreekt: Water
Voorbeelden van E = mc2
De pijn die je voelt wanneer je in een zwart gat valt
De versnelling van een baksteen die in een zwart gat valt
De snelheid van een baksteen die in een zwart gat valt
De Euler-Lagrange-vergelijking
De baan van een baksteen bij een zwart gat
De Taylor-reeks van f (x) = tan (ax)
De integralen van f (x) = sin2 x/(1 + a cos x)2
De integraal van f (x) = 1/(x2 (ax2 + bx + c))
De invaltijd van een baksteen die in een zwart gat valt
Naar de overzichtspagina wiskunde
Naar de overzichtspagina natuurkunde
Naar de overzichtspagina filosofie
Doneer enkele euro’s
Wetenschappelijke boeken te koop
Lezingen