De integraal van
f (x) = 1/(ax2 + bx + c)1/2

Trefwoorden/keywords: integraal/integral, integreren/integrate, f (x) = 1/(ax2 + bx + c)1/2

De grafiek van f (x) = 1/(ax2 + bx + c)1/2 voor a = −1, b = 3, c = 1 (de rode lijn),
a = −2, b = 6, c = 2 (de groene lijn) en a = −3, b = 9, c = 3 (de blauwe lijn)
Bij het integreren van deze functie dienen we de kettingregel van het differentiëren voor ogen te hebben:

De discriminant van de noemer is groter dan nul en de noemer kent daarom twee nulpunten p en q die we nu eerst berekenen met de abc-formule:

Hiermee wordt de integraal:
Ik stel:
De integraal wordt dan:
De oplossing van de integraal van 1/(a2 − x2)1/2 kun je elders vinden in de tabel met integralen. Dat brengt ons bij dit tussenresultaat:
Nu moet u uiteraard weer vervangen worden door x:
Ter controle ga ik het resultaat differentiëren:
Is hiermee dan het verhaal klaar? Nee, want ik heb onderweg gemaskeerd dat a < 0. Hierboven ontstaat bij het differentiëren een term met 2a die ik vervolgens kwadrateer en onder de wortel laat ‘verdwijnen’. Daarom moet ik nog een minteken toevoegen aan het antwoord:

De grafiek van F (x) voor a = −1, b = 3, c = 1 (de rode lijn),
a = −2, b = 6, c = 2 (de groene lijn) en a = −3, b = 9, c = 3 (de blauwe lijn), C = 0