Voorbij Einstein | Wiskunde, natuurkunde en filosofie | De integraal van<br>f (x) = 1/(ax^2 + bx + c)^1/2

WETENSCHAPPELIJKE BOEKEN

Home

Voorbeelden van E = mc²

De pijn die je voelt wanneer je in een zwart gat valt

De versnelling van een baksteen die in een zwart gat valt

De snelheid van een baksteen die in een zwart gat valt

De Euler-Lagrange-vergelijking

De baan van een baksteen bij een zwart gat

De Taylor-reeks van f (x) = tan (ax)

De integralen van f (x) = sin² x/(1 + a cos x)²

De integraal van f (x) = 1/(x² (ax² + bx + c))

De invaltijd van een baksteen die in een zwart gat valt

De integraal van f (x) = x^m ln (ax)

De integraal van f (x) = x^p ln (ax)

De versnelling van een baksteen die in een zwart gat valt

De versnelling van een baksteen die in een zwart gat valt

De naam van een zwart gat

De integraal van f (x) = x^p cos (ax)

De integraal van f (x) = x^p sin (ax)

Leid de Boltzmann-verdeling af

De integraal van f (x) = (ax² + bx + c) e^{− (ax² + bx + c)}

De integraal van f (x) = x² e^−ax²

Bereken de energie in een condensator

Bereken de energie in een spoel

De snelheid van een baksteen die in een zwart gat valt

De invaltijd van een baksteen die in een zwart gat valt

De snelheid van een baksteen die in een zwart gat valt

De afgeleide van f (x) = x!

Kabouters en de uitdijing van het heelal

De Riemann-zeta-functie

Hoe manifesteert zich ruimtetijdkromming?

Bernoulli-getallen

De faculteitsfunctie

Waarom Homo Sapiens?

De trapeziummethode

De integraal van f (x) = xⁱ

De integraal van f (x) = sin ln (ax)

De integraal van f (x) = cos ln (ax)

De integraal van f (x) = 1/(ax³ + bx² + cx + d)^1/2 (D < 0)

LaTeX symbolen: wiskundige ruimtes

Afleiding van de energie-impuls-relatie

De reis naar de werkelijkheid van Rolando Toro

De Excel bestanden die gebruikt zijn voor deze website

De Python code van deze website

De Natuur spreekt: Het Woud

De Natuur spreekt: De Golf

Het probleem van de gevangenen

Mijn nieuwe fiets

Relativiteitstheorie

Kwantummechanica

Elektriciteit en magnetisme

Algemene natuurkunde

Boeken over natuurkunde te koop

De grote vragen in het leven

De illusies die wij leven

Reizigers naar de werkelijkheid

Gedichten over Liefde

Recent toegevoegde pagina’s

Kalender van de jaren 0001 − 3000 met weekdagen

Index: personen

Index: trefwoorden

Notatie en terminologie

Excel bestanden

Fysische gegevens

Woordenboek: Nederlands - Engels

Woordenboek: Engels - Nederlands

Natuurkundeclub Gℏc

Natuurkundeclub Gℏc (openbare pagina)

Natuurkundeclub Gℏc (besloten pagina)

Stamboom Contact

De integraal van
f (x) = 1/(ax² + bx + c)^1/2

Trefwoorden/keywords: integraal/integral, integreren/integrate, f (x) = 1/(ax² + bx + c)^1/2

De grafiek van f (x) = 1/(ax² + bx + c)^1/2 voor a = 1, b = 3, c = 1 (de rode lijn),
a = 2, b = 6, c = 2 (de groene lijn) en a = 3, b = 9, c = 3 (de blauwe lijn)

Bij het integreren van deze functie dienen we de kettingregel van het differentiëren voor ogen te hebben:

De discriminant van de noemer is groter dan nul en de noemer kent daarom twee nulpunten p en q die we nu eerst berekenen met de abc-formule:

Hiermee wordt de integraal:

Ik stel:

De integraal wordt dan:

De oplossing van de integraal van 1/(x² − a²)^1/2 kun je elders vinden in de tabel met integralen. Dat brengt ons bij dit tussenresultaat:

Nu moet u uiteraard weer vervangen worden door x:

Ter controle ga ik het resultaat differentiëren:

Tot slot wil ik nog opmerken dat je de area cosinus hyperbolicus kunt omschrijven naar een natuurlijke logaritme, en vice versa, als volgt:

De oplossing van deze integraal kan ik daarom ook als volgt opschrijven:

Die factor 1/√D kan ik eruit werken, want die leidt tot een constante:

Nu moet er nog wel iets gebeuren want de logaritme van een negatief getal kan niet. De oplossing is simpel, ik neem de absolute waarde:

De grafiek van F (x) voor a = 1, b = 3, c = 1 (de rode lijn),
a = 2, b = 6, c = 2 (de groene lijn) en a = 3, b = 9, c = 3 (de blauwe lijn), C = 0

Door naar de volgende integraal: de integraal van
f (x) = 1/(ax² + bx + c)^1/2

Terug naar de vorige integraal: de integraal van
f (x) = 1/(ax² + bx + c)^1/2

Tabel met integralen

Tabel met afgeleiden

Tabel met Taylor-reeksen

Differentiëren

De integraal van
f (x) = 1/(x³ (a² + x²))

De integraal van
f (x) = − 1/(a² − x²)^1/2

De integraal van
f (x) = 1/x ln (ax)

De integraal van
f (x) = 1/x² (a² + 1/x⁶)^1/2

De integralen van
f (x) = sinⁿ x/(1 − a² sin² x)^p

Vectoren, vraagstuk 43

Vectoren, vraagstuk 81

Anti-symmetrie in de Riemann-tensor

De Taylor-reeks van
f (x) = (a − x)^1/2

De Taylor-reeksen van
f (x) = (a + x)^p

Uitleg artikel algemene relativiteitstheorie: paragraaf 4

Gelijktijdigheid

De maximale snelheid

De posities van de Lagrange-punten

De potentialen van het elektromagnetische veld

De illusies die wij leven

Voorbeelden van E = mc²

De pijn die je voelt wanneer je in een zwart gat valt

De versnelling van een baksteen die in een zwart gat valt

De snelheid van een baksteen die in een zwart gat valt

De Euler-Lagrange-vergelijking

De baan van een baksteen bij een zwart gat

De Taylor-reeks van f (x) = tan (ax)

De integralen van f (x) = sin² x/(1 + a cos x)²

De integraal van f (x) = 1/(x² (ax² + bx + c))

De invaltijd van een baksteen die in een zwart gat valt

Naar de overzichtspagina wiskunde

Naar de overzichtspagina natuurkunde

Naar de overzichtspagina filosofie

Doneer enkele euro’s

Wetenschappelijke boeken te koop

Alle rechten voorbehouden / All rights reserved © Karel de Vlieger 2010 − 2024