De integraal van
f (x) = cos x/(1 − a2 cos2 x)5/2

Trefwoorden/keywords: integraal/integral, integreren/integrate, f (x) = cos x/(1 − a2 cos2 x)5/2

De grafiek van f (x) = cos x/(1 − a2 cos2 x)5/2 voor a2 = 0.1 (de rode lijn),
a2 = 0.5 (de groene lijn) en a2 = 0.9 (de blauwe lijn)
Deze integraal vereist nogal wat trucs. Om te beginnen ga ik die cosinus in de noemer omzetten naar een sinus:
Ik stel:
Zodat de integraal deze vorm krijgt:
Ik stel:
Zodat ik de integraal in deze vorm kan schrijven:
Voor het integreren ga ik gebruik maken van goniometrische substitutie door tangens of cotangens:

De integraal wordt dan:
De oplossing van de integraal van cos3 x kun je elders vinden in de tabel met integralen. Dat brengt ons bij dit tussenresultaat:
De sinus kan ik schrijven als een functie van de tangens:
Hiermee kan ik de hierboven gevonden primitieve functie ook als volgt opschrijven:
Nu moet t uiteraard weer vervangen worden door u:
En u moet uiteraard weer vervangen worden door x:
Ter controle ga ik het resultaat differentiëren: