De integraal van
f (x) = 1/(−a2 + x2)1/2

Trefwoorden/keywords: integraal/integral, integreren/integrate, f (x) = 1/(−a2 + x2)1/2

De grafiek van f (x) = 1/(−a2 + x2)1/2 voor a = 1 (de rode lijn),
a = 2 (de groene lijn) en a = 3 (de blauwe lijn)
Hoe kan dat nou dat er twee dezelfde functies in de tabel met integralen staan die twee zulke verschillende primitieve functies hebben? Dat zal ik uitleggen.

Dit is de cosinus hyperbolicus:
De area cosinus hyperbolicus is de inverse functie hiervan, dus x en y wisselen van plaats:
Ik ga gebruik maken van de abc-formule:

Hierdoor kan ik de inverse functie omschrijven zodat y weer geschreven wordt als functie van x:
Het resultaat van de wortel moet positief zijn, want anders zitten we in het verkeerde kwadrant. Het resultaat van het omschrijven wordt dus:
Daarom is ook dit een oplossing:
Die factor 1/a kan ik eruit werken, want die leidt tot een constante:
Ter controle ga ik het resultaat differentiëren:
Nu moet er nog wel iets gebeuren want de logaritme van een negatief getal kan niet. De oplossing is simpel, ik neem de absolute waarde:

De grafiek van F (x) voor a = 1 (de rode lijn),
a = 2 (de groene lijn) en a = 3 (de blauwe lijn), c = 0