De integraal van
f (x) = (a2 + x2)1/2

Trefwoorden/keywords: integraal/integral, integreren/integrate, f (x) = (a2 + x2)1/2

De grafiek van f (x) = (a2 + x2)1/2 voor a = 1 (de rode lijn),
a = 2 (de groene lijn) en a = 3 (de blauwe lijn)
Voor het integreren van deze functie maak ik gebruik van goniometrische substitutie door tangens of cotangens:


De integraal wordt dan:
De oplossing van de integraal van 1/cos3 x kun je elders vinden in de tabel met integralen. Dat brengt ons bij dit tussenresultaat:
Nu moet t uiteraard weer vervangen worden door x:
De cosinus kan ik schrijven als een functie van de tangens:
Hiermee kan ik de hierboven gevonden primitieve functie ook als volgt opschrijven:
Ter controle ga ik het resultaat differentiëren:
Nu moet er nog wel iets gebeuren want de logaritme van een negatief getal kan niet. De oplossing is simpel, ik neem de absolute waarde:
Tot slot wil ik nog opmerken dat je de area sinus hyperbolicus kunt omschrijven naar een natuurlijke logaritme, en vice versa, als volgt:
De oplossing van deze integraal kan ik daarom ook als volgt opschrijven:

De grafiek van F (x) voor a = 1 (de rode lijn),
a = 2 (de groene lijn) en a = 3 (de blauwe lijn), c = 0