Voorbij Einstein | Wiskunde, natuurkunde en filosofie | De integraal van<br>f (x) = x^p e^ax

WETENSCHAPPELIJKE BOEKEN

Home

Voorbeelden van E = mc²

De pijn die je voelt wanneer je in een zwart gat valt

De versnelling van een baksteen die in een zwart gat valt

De snelheid van een baksteen die in een zwart gat valt

De Euler-Lagrange-vergelijking

De baan van een baksteen bij een zwart gat

De Taylor-reeks van f (x) = tan (ax)

De integralen van f (x) = sin² x/(1 + a cos x)²

De integraal van f (x) = 1/(x² (ax² + bx + c))

De invaltijd van een baksteen die in een zwart gat valt

De integraal van f (x) = x^m ln (ax)

De integraal van f (x) = x^p ln (ax)

De versnelling van een baksteen die in een zwart gat valt

De versnelling van een baksteen die in een zwart gat valt

De naam van een zwart gat

De integraal van f (x) = x^p cos (ax)

De integraal van f (x) = x^p sin (ax)

Leid de Boltzmann-verdeling af

De integraal van f (x) = (ax² + bx + c) e^{− (ax² + bx + c)}

De integraal van f (x) = x² e^−ax²

Bereken de energie in een condensator

Bereken de energie in een spoel

De snelheid van een baksteen die in een zwart gat valt

De invaltijd van een baksteen die in een zwart gat valt

De snelheid van een baksteen die in een zwart gat valt

De afgeleide van f (x) = x!

Kabouters en de uitdijing van het heelal

De Riemann-zeta-functie

Hoe manifesteert zich ruimtetijdkromming?

Bernoulli-getallen

De faculteitsfunctie

Waarom Homo Sapiens?

De trapeziummethode

De integraal van f (x) = xⁱ

De integraal van f (x) = sin ln (ax)

De integraal van f (x) = cos ln (ax)

De integraal van f (x) = 1/(ax³ + bx² + cx + d)^1/2 (D < 0)

LaTeX symbolen: wiskundige ruimtes

Afleiding van de energie-impuls-relatie

De reis naar de werkelijkheid van Rolando Toro

De Excel bestanden die gebruikt zijn voor deze website

De Python code van deze website

De Natuur spreekt: Het Woud

De Natuur spreekt: De Golf

Het probleem van de gevangenen

Mijn nieuwe fiets

Relativiteitstheorie

Kwantummechanica

Elektriciteit en magnetisme

Algemene natuurkunde

Boeken over natuurkunde te koop

De grote vragen in het leven

De illusies die wij leven

Reizigers naar de werkelijkheid

Gedichten over Liefde

Recent toegevoegde pagina’s

Kalender van de jaren 0001 − 3000 met weekdagen

Index: personen

Index: trefwoorden

Notatie en terminologie

Excel bestanden

Fysische gegevens

Woordenboek: Nederlands - Engels

Woordenboek: Engels - Nederlands

Natuurkundeclub Gℏc

Natuurkundeclub Gℏc (openbare pagina)

Natuurkundeclub Gℏc (besloten pagina)

Stamboom Contact

De integraal van
f (x) = x^p e^ax

Trefwoorden/keywords: integraal/integral, integreren/integrate, f (x) = x^p e^ax

De grafiek van f (x) = x^p e^ax voor p = 1 (de rode lijn),
p = 2 (de groene lijn) en p = 4 (de blauwe lijn), a = 1

Voor het integreren van deze functie ga ik gebruik maken van partieel integreren:

De integraal wordt dan:

En zo kan ik door blijven gaan totdat ik bij de laatste integraal kom:

En dat is tenslotte als volgt op te schrijven:

Ter controle ga ik het resultaat differentiëren:

De grafiek van F (x) voor p = 1 (de rode lijn),
p = 2 (de groene lijn) en p = 4 (de blauwe lijn), a = 1, c = 0

Een belangrijke kanttekening is hier op zijn plaats, want dit werkt alleen indien p een geheel getal is. Als dat niet het geval is dan is deze functie in deze vorm niet te integreren en dan wenden we ons tot reeksontwikkeling. In de tabel met Taylor-reeksen vinden we:

De integraal wordt dan:

Ter controle ga ik ook dit resultaat differentiëren:

De grafiek van F (x) voor p = 1 (de rode lijn),
p = 2 (de groene lijn) en p = 4 (de blauwe lijn), a = 1, c = 0,
50 termen meegenomen

Merk op dat beide oplossingen niet identiek zijn, maar een constante verschillen. Voor x = 0 is de eerste oplossing:

Voor x = 0 is de tweede oplossing:

Het verschil tussen beide is een constante:

Door naar de volgende integraal: de integraal van
f (x) = 1/(ax² + bx + c)

Terug naar de vorige integraal: de integraal van
f (x) = x⁵ e^ax

Tabel met integralen

Tabel met afgeleiden

Tabel met Taylor-reeksen

De integralen van
f (x) = xⁿ e^ax

Partieel integreren

Differentiëren

De afgeleide van
f (x) = xⁿ

De afgeleide van
f (x) = e^x

Reeksontwikkeling

De Taylor-reeksen van
f (x) = e^±ax

De Taylor-reeksen van
f (x) = e^±ax²

Uitleg artikel algemene relativiteitstheorie: inleiding

De illusie van anorexia

De integraal van
f (x) = x²/(a² + x²)^1/2

De integraal van
f (x) = cos x/(1 − a² cos² x)^1/2

De integraal van
f (x) = x^p/(e^x − 1)

De integralen van
f (x) = xⁿ (−a² + x²)^1/2

Vectoren, vraagstuk 26

Vectoren, vraagstuk 64

Vraagstukken xref voor de UT

Tabel met Taylor-reeksen

Voorbeelden van E = mc²

De pijn die je voelt wanneer je in een zwart gat valt

De versnelling van een baksteen die in een zwart gat valt

De snelheid van een baksteen die in een zwart gat valt

De Euler-Lagrange-vergelijking

De baan van een baksteen bij een zwart gat

De Taylor-reeks van f (x) = tan (ax)

De integralen van f (x) = sin² x/(1 + a cos x)²

De integraal van f (x) = 1/(x² (ax² + bx + c))

De invaltijd van een baksteen die in een zwart gat valt

Naar de overzichtspagina wiskunde

Naar de overzichtspagina natuurkunde

Naar de overzichtspagina filosofie

Doneer enkele euro’s

Wetenschappelijke boeken te koop

Alle rechten voorbehouden / All rights reserved © Karel de Vlieger 2010 − 2024