Inwendig product, uitwendig product en dyadisch product

Vectoren kunnen op drie manieren met elkaar ‘vermenigvuldigd’ worden en die gaan we hier apart doornemen. Daarbij richten we ons eerst op de wiskundige systematiek en hoe je in die drie gevallen alle vectorcomponenten moet verwerken om tot een antwoord te komen. Daarna kijken we wat de zin is van al die hocus-pocus. Oftewel, wat is de betekenis van al dit wiskundige geknutsel in de ‘echte wereld’.

Allereerst is er het inwendig product, ook wel genoemd het inproduct, scalair product of het cosinus product. Dit product wordt aangegeven met een punt tussen de vectoren (daarom lees je in Engelse literatuur ook wel de term dot product, dot is Engels voor punt). Het resultaat van het inwendig product is simpelweg een getal, en omdat scalar een ander woord voor getal is praten we ook wel over scalair product. De definitie van het inwendig product is:

Hierin is φ de hoek tussen de twee vectoren. Als α de hoek is die A met de x-as maakt en β de hoek die B met de x-as maakt, dan is φ = α − β. | A | is de lengte van de vector A, dus wat je meet als je er een duimstok langs legt. Of netjes gezegd: | A | is de absolute waarde van de vector A. En | B | is dan uiteraard de absolute waarde van de vector B. Met behulp van de stelling van Pythagoras volgt dan (ervan uitgaande dat we een orthogonaal assenstelsel hebben, dus dat de assen loodrecht op elkaar staan, want anders mogen we Pythagoras niet gebruiken):





Die cos φ kunnen we ook anders schrijven (we gaan voor het gemak even uit van vectoren met twee componenten):



Die overstap van de som van twee hoeken naar een product van sinussen en cosinussen gaat met behulp van een hulpregel uit de goniometrie. Voor de duidelijkheid nog een keer het toelichtende plaatje, en daarop zijn de sinus en cosinus van de somhoek (α + β) zo af te lezen. De sinus en cosinus van de verschilhoek (α − β) verkrijg je door β te vervangen door −β, en daarna de sinussen van β een minteken mee te geven.


Figuur 1
We zijn in vergelijking (3) uitgegaan van vectoren met twee componenten. Voor vectoren met een willekeurig aantal componenten wordt het dan:



En als we vervolgens vergelijking (4) in vergelijking (1) stoppen, dan krijgen we:



vergelijking (5) geeft een tweede methode (vergelijking (1) is de eerste methode) om het inwendig product te berekenen.

Vervolgens is er het uitwendig product, ook wel genoemd het uitproduct, vector product of het sinus product. Dit product wordt aangegeven met een kruisje tussen de vectoren (daarom lees je in Engelse literatuur ook wel de term cross product). Het resultaat van het uitproduct is een vector, vandaar de naam vector product. De definitie van het uitproduct is:



Hierin is φ weer de hoek tussen de twee vectoren. De toevoeging n is een eenheidsvector (zijn lengte is één) en die staat loodrecht op het vlak waar de vectoren A en B zich in bevinden. Een dergelijke vector die loodrecht op een vlak staat noemen we een normaalvector (vandaar de letter n). | A | | B | sin φ geeft de lengte van de resulterende vector en n geeft aan waar die vector dan heen wijst. Dit gaat volgens de kurkentrekkerregel: als je een denkbeeldige kurkentrekker van A naar B draait dan wijst n in de richting waar de punt van de kurkentrekker heen beweegt. Een ander ezelsbruggetje hiervoor is de rechterhandregel. Die vind ik zelf wat minder vanzelfsprekend, maar het idee is dat het grijpen van de vingers de draaiing voorstelt van A naar B en dan wijst je duim in de richting van n. Het uitproduct is dan ook een bewerking die alleen in een driedimensionale ruimte kan bestaan.

De logische volgende vraag is dan natuurlijk hoe je het uitproduct in de praktijk uitrekent, want je weet sin φ niet (maar die is eventueel te berekenen met vergelijking (4)) en je weet n niet.

Wel, kijk en huiver (dit ziet er best wel ingewikkeld uit), maar we hoeven dit maar één keer te doen. Daarna weten we het voor alle volgende keren. Het uitgangspunt bestaat uit twee vectoren A en B met ieder drie componenten, (a1, a2, a3) en (b1, b2, b3), in een orthogonale vectorbasis i, j, k. Deze i, j, k kun je zien als de assen van het coördinatenstelsel en orthogonaal wil zeggen dat ze allemaal loodrecht op elkaar staan. Ik dien hier nog wel te vermelden dat bij een vectorbasis bestaande uit eenheidsvectoren officieel de term orthonormaal gebruikt wordt, maar bij het woord orthogonaal weet iedereen ook heus wel waarover je het hebt. Orthogonaal betekent dat de assen loodrecht op elkaar staan en dit is ook het geval bij een orthonormaal stelsel, maar een orthonormaal stelsel kent tevens de eis dat de basisvectoren allemaal eenheidsvectoren zijn. Het uitproduct is dan:



We hebben nu 9 mini-uitproducten. Het uitproduct van een vector met zichzelf is nul, want de hoek tussen de vectoren is dan uiteraard nul graden en dus is sin φ ook nul. De uitproducten i × i, j × j en k × k vallen er dus uit (die zijn nul):



En vervolgens gaan we kurkentrekkertje spelen (teken maar even een assenstelsel i, j, k op een kladblaadje en pak een kurkentrekker uit de keukenla). Als je het goed doet komt dit er uit:













En dit vullen we in in vergelijking (7):



En tenslotte is er het dyadisch product, ook wel genoemd het directe product of het tensor product. Dit product wordt aangegeven met een kruisje met een cirkeltje er omheen tussen de vectoren. Om de onduidelijkheid te bevorderen wordt dit symbool vaak weggelaten! Tot overmaat van ramp hebben ze het in de Engelse literatuur (en vrijwel alle literatuur over relativiteitstheorie is in het Engels) over outer product, en dit is dus iets heel anders dan het Nederlandse uitproduct! Het resultaat van het dyadisch product is een tensor, vandaar de naam tensor product. De definitie van het dyadisch product is:



Ik heb hier de indices r en k gebruikt om rijen respectievelijk kolommen aan te duiden. Laten we nu even alles overzichtelijk in een tabel zetten:
Symbolische aanduiding Naam Resultaat
inwendig product of
inproduct of
scalair product of
cosinus product of
dot product (Engels)
Scalar (getal):
uitwendig product of
uitproduct of
vector product of
sinus product of
cross product (Engels)
Vector:
dyadisch product of
directe product of
tensor product of
outer product (Engels)
Tensor:
Tabel 1
Je ziet hier wellicht een bepaalde systematiek in. Het scalair product levert een getal op (zie dit als een punt), het vector product levert een rij getallen (zie dit als een lijn) en het tensor product levert een veld met getallen (zie dit als een vlak). De tensor zoals die hierboven staat is een tensor van de tweede rang. Een dergelijke tensor kan op zijn beurt weer een tensor product ondergaan met een vector en dan vormt zich een tensor van de derde rang: een kubus met getallen. Of twee tensoren van de tweede rang kunnen door middel van een tensor product een tensor vormen van de vierde rang (inderdaad, die getallenbrij is niet meer te visualiseren). In principe is the sky the limit voor de rang die een tensor kan hebben. En in lijn met deze systematiek is een vector te beschouwen als een tensor van de eerste rang en een getal als een tensor van de nulde rang. Om wat preciezer te zijn wordt de rang van een tensor vaak onderverdeeld in covariant en contravariant. Bijvoorbeeld de tensor Kαβγδε heeft als rang (2,3), hij is covariant in α en β, en contravariant in γ, δ en ε. Een ‘gewone’ vector heeft aldus als rang (0,1) en een getal (scalar) de rang (0,0).

Maar wat heb je hier nou allemaal aan? Laten we om te beginnen eens een plaatje bekijken om het inwendig product aanschouwelijk te maken.


Figuur 2
Het inwendig product is heel handig om de hoek tussen twee vectoren te berekenen (via een simpele korte notatie, want daar houden we van in de wiskunde). En met die hoek kun je weer andere dingen berekenen zoals projecties. In figuur 2 is | A | cos φ de projectie van de vector A op de vector B. Stel de lengte van A is | A | = 8 en de hoek φ = 30°. Dan is | A | cos φ = 8 × cos 30° = 8 × ½ √ 3 = 4 √ 3, dus de projectie van A strekt zich 4 √ 3 uit in de B richting. En die projectie wordt vaak weer gebruikt om afstanden te berekenen. Geloof me, het inwendig product is waardevol.

Laten we nu eens naar een plaatje kijken om meer inzicht te krijgen in het uitproduct.


Figuur 3
Het uitproduct is heel handig om een normaalvector van een vlak te berekenen, in dit plaatje de vector C. En de grootte van A × B, dus | A × B |, is de oppervlakte van het parallellogram dat door de vectoren A en B gevormd wordt. Vaak zijn we in de wiskunde geïnteresseerd in datgene wat ergens aan raakt, en dan gebruiken we de afgeleide, of datgene wat er juist haaks op staat, en dan gebruiken we het uitproduct. Geloof me, het uitproduct is waardevol.