Wat is een vector?

De Nederlander Willebrord Snel van Royen kwam als eerste met het concept van een vector. Maar wat is een vector? Vectoren zijn voorstellingen van ‘iets’ dat een richting heeft in tegenstelling tot een scalar die ‘iets’ voorstelt zonder richting. Een scalar is simpelweg een getal, bijvoorbeeld de temperatuur. Wanneer ik zeg dat de temperatuur hier twintig graden celsius is dan ben ik volledig duidelijk. Maar wanneer ik zeg dat ik fiets met een snelheid van achttien km/uur dan is de voor de hand liggende vraag: waarheen dan? Snelheden hebben dus een grootte (in dit geval achttien km/uur) en een richting. Vectoren worden voorgesteld door pijltjes, en deze pijltjes hebben een grootte en een richting. Scalaire grootheden (zoals temperatuur) worden volledig weergegeven door een getal. Vectoriële grootheden (zoals snelheid) worden volledig weergegeven door een getal én een richting. Indien ik een bepaalde kant op fiets dan kan ik dat aangeven met een pijltje (vector) die in die richting wijst. En als mijn snelheid 18 km/uur (= 5 m/s) bedraagt dan kan ik dat pijltje bijvoorbeeld een lengte meegeven van 5 cm. Ik kan erbij zetten dat het om een snelheid gaat door er v bij te schrijven, en de “v” wordt vet gedrukt om aan te geven dat het een vector is. Dat ziet er dan zo uit:



Figuur 1
Een andere manier om vectoren aan te duiden is door een pijltje boven de grootheid, in dit geval de “v”, te schrijven. De vector in bovenstaande figuur wijst naar rechts, maar ook een stukje omhoog. Indien ik hier een x-y-assenstelsel bij denk dan heeft de vector v dus een x-deel en een y-deel. Dit noemen we de componenten van de vector v en dat schrijven we als volgt op: v (vx, vy). Of in drie dimensies: v (vx, vy, vz). De componenten van de vector mag je trouwens ook boven elkaar schrijven en dan de komma’s weglaten. Verder wil ik nog opmerken dat vectoren niet gebonden zijn aan een coördinatenstelsel (zolang we het puur over de vector zelf hebben en niet over de componenten van die vector, want de componenten vormen de verbinding met het coördinatenstelsel), en in de relatie tot relativiteitstheorie is dit een hele belangrijke. Pas op het moment dat ik begin te praten over de componenten van een vector verbind ik mij met een coördinatenstelsel. In onze wiskundige fantasie kan van alles door vectoren voorgesteld worden: snelheden, krachten, veldsterkte, verplaatsingen, enzovoort.

Nu wil ik iets zeggen over de notatie van vectoren en hun componenten.

Stel je hebt een verplaatsingsvector x (vectoren worden vet gedrukt). Dat wil zeggen, er is een verplaatsing vanaf een bepaald punt, bijvoorbeeld P, naar een ander punt, bijvoorbeeld Q. Die afstand PQ wordt voorgesteld door de vector x, met andere woorden: de vector x stelt een verplaatsing voor over de afstand van P naar Q. Deze vector heeft uiteraard componenten en wel evenveel componenten als dat er dimensies zijn waarbinnen er verplaatst wordt. We nemen als voorbeeld vier dimensies: drie ruimtelijke dimensies (noem ze lengte, breedte en hoogte, of x, y en z, of x1, x2 en x3) en de tijd (noem het tijd of t of x4). Zoals je ziet zet ik de indices hoog en daar heb ik goede redenen voor die later duidelijk zullen worden. De vector x heeft dus vier componenten en we kunnen x daarom als volgt noteren:







Deze laatste notatie heeft een bepaalde aantrekkelijkheid door de regelmaat die daarin voorkomt. Als we van die regelmaat gebruik maken, dan kunnen we ook overgaan op de volgende notatie:



De vermelding γ = 1, 2, 3, 4 (de dimensies) laten we vaak weg, omdat dat doorgaans wel duidelijk is uit de context. De componenten van de vector x kunnen we dus simpelweg noteren als: xγ.

Goed, dit was even een intro over de systematiek van de notatie. Door het gebruik van indices noemen we dit de indexnotatie.

Die vectorcomponenten hebben een bepaalde waarde, bijvoorbeeld x (6, 2, −7, 54). Dit betekent dan dat x1 = 6, x2 = 2, x3 = −7 en x4 = 54. De kritische lezer zal nu direct naar voren brengen: wat betekent x1 = 6 dan? Zijn dat 6 meters of 6 centimeters? En welke kant op? De vectorcomponenten moeten dus gerelateerd zijn aan een bepaald referentiekader met een basis, oftewel een coördinatenstelsel.

Laten we nu voor het gemak aannemen dat de vector x uit twee componenten bestaat, x1 en x2. Met andere woorden: x is een vector in een tweedimensionaal vlak (een gewoon vlak dus, bijvoorbeeld de keukentafel). Twee dimensies is zo lekker makkelijk te tekenen en voor het principe verandert er niets ten opzichte van drie of meer dimensies. Het ziet er dan zo uit:


Figuur 2

Dit is een assenstelsel zoals je wellicht op school al vaak getekend hebt. Even een interessant punt van aandacht: de componenten x1 en x2 kun je ook zien als vectoren x1 en x2 die langs de coördinaatassen lopen. De vector x bestaat uit componenten x1 en x2, x (x1, x2), maar die componenten kun je op hun beurt ook weer zien als vectoren: x1 (x1, 0), x2 (0, x2). Hier gaan we later nog gebruik van maken. Verder zien we dat de beide assen kaarsrecht zijn en loodrecht op elkaar staan. En de afstanden tussen de getallen bij de assen staan ook keurig op regelmatige afstand van elkaar. Dat de assen loodrecht op elkaar staan heet orthogonaal. Een stelsel met orthogonale assen én regelmatige afstanden tussen de getallen heet Cartesisch (naar de Franse wiskundige René Descartes).