Tweedegraads vergelijking oplossen

Stel, ik heb de volgende tweedegraads vergelijking:



Van deze vergelijking, de vergelijking van een parabool, wil ik de nulpunten bepalen (de punten waar de grafiek de x-as snijdt), dus ik stel y = 0:



In verband met wat komen gaat deel ik door a:



Om de nulpunten te vinden moet ik komen tot iets van deze vorm (waarin p en q de nulpunten zijn):



Ik werk in vergelijking (4) de haakjes weg:



De vergelijkingen (3) en (5) moeten met elkaar overeenkomen:





Vervolgens stop ik (6a) in (6b):



Op deze manier komen we geen stap verder, want nu hebben we een tweedegraads vergelijking in q in plaats van x. Oftewel, ik ben in kringetjes aan het ronddraaien en ik heb slechts het probleem verplaatst van x naar q. Een betere manier is om naar iets van deze vorm toe te werken:



Ik werk in vergelijking (8) de haakjes weg:



De vergelijkingen (3) en (9) moeten met elkaar overeenkomen:





Vervolgens stop ik (10a) in (10b):



En dit resultaat stop ik samen met vergelijking (10a) in vergelijking (9):



Het deel onder het wortelteken noem ik de discriminant D:



Daarmee wordt vergelijking (12):



Bovenstaande vergelijking is de abc-formule, deze kan ik altijd blind gebruiken om de nulpunten van een parabool te vinden door simpelweg a, b en c in te vullen. In het geval dat D < 0 kan ik niet worteltrekken en zijn er geen nulpunten. En wanneer D = 0 is er maar één nulpunt, de top van de parabool raakt dan de x-as.

De x-waarden van de beide nulpunten worden aldus:





Om symmetrieredenen ligt de top hier precies tussen:



De y-waarde die hier bij hoort, dus de y-waarde van de top, is:



We hebben de coördinaten van de top gevonden op grond van symmetrie, maar dat had ook anders gekund. De top is namelijk een punt waar de raaklijn horizontaal loopt en de afgeleide dus nul is. De afgeleide van y is:



Door de afgeleide nul te stellen vind ik de x-waarde van de top:



Hetgeen (uiteraard) perfect overeenkomt met vergelijking (16). De coördinaten van de top zijn altijd (−b/2a, −D/4a). Door x = 0 in te vullen vind ik het snijpunt met de y-as en dit snijpunt is dus altijd (0, c). In onderstaande tabel staat alles nog eens overzichtelijk bij elkaar.
a < 0
Bergparabool
c < 0 c = 0 c > 0
D < 0 Geen nulpunten, de parabool ligt geheel onder de x-as.
D = 0 Eén nulpunt (de top raakt de x-as), verder ligt de parabool geheel onder de x-as.
D > 0 Twee nulpunten, de top ligt boven de x-as.
De parabool snijdt de y-as
onder de x-as.
De parabool snijdt de y-as
in de oorsprong.
De parabool snijdt de y-as
boven de x-as.

a > 0
Dalparabool
c < 0 c = 0 c > 0
D < 0 Geen nulpunten, de parabool ligt geheel boven de x-as.
D = 0 Eén nulpunt (de top raakt de x-as), verder ligt de parabool geheel boven de x-as.
D > 0 Twee nulpunten, de top ligt onder de x-as.
De parabool snijdt de y-as
onder de x-as.
De parabool snijdt de y-as
in de oorsprong.
De parabool snijdt de y-as
boven de x-as.
Zelf ook even spelen met de coëfficiënten a, b en c en zien hoe de nulpunten eruit rollen? Open dan deze Excel file (opent in een nieuw tabblad).