De stelling van Stokes

Ik beschouw een infinitesimaal klein rechthoekje ABCD:
Ter plaatse van dit rechthoekje is een veld aanwezig van een bepaalde grootheid Ω (x, y). Deze grootheid varieert in de x-richting en y-richting volgens:





Vervolgens ga ik de kringintegraal uitrekenen van Ω over de omtrek van de rechthoek ABCD:



Deze vier deelintegralen ga ik apart uitwerken. Ik begin met de eerste integraal, het traject van A naar B (ΩAx betekent de x-component van Ω in het punt A, enzovoort):



Vervolgens reken ik de tweede integraal uit, het traject van B naar C:



En de derde integraal, van C naar D:



Tot slot de vierde integraal, van D terug naar A:



Nu ga ik alle resultaten optellen:



Omdat:





En omdat bovendien xA = xD en yA = yB wordt vergelijking (8) daarmee:



Bij de voorlaatste stap heb ik de tweede afgeleide verwaarloosd, maar ik had er ook simpelweg voor kunnen kiezen om de oorsprong in het punt A neer te leggen zodat xA en yA beiden nul zijn. En wat nog veel belangrijker is, is dat we hier de z-component van de rotatie hebben staan! Ik heb hier gerekend met een oneindig klein rechthoekje ABCD, maar ik kan heel veel van deze rechthoekjes aan elkaar leggen om een willekeurig oppervlak te vormen waarbij alle randjes die tegen elkaar aanliggen niet bijdragen aan de integraal omdat datgene wat bij de rand van het ene oppervlakje de ene kant opwerkt bij de rand van het aangrenzende oppervlakje precies de andere kant opwerkt. Dit is de rotatie van het veld:



En dit is de component daarvan die loodrecht op het oppervlak staat (als het oppervlak in het x-y-vlak ligt dan vormt zich zo de z-component):

Welkom bij de stelling van Stokes: