De stelling van Gauss

Stel ik heb deze kubus:
Dit is een infinitesimaal klein kubusje waar iets doorheen stroomt. Dat ‘iets’ kan water zijn of lucht of een of ander veld of energie of wat dan ook. Datgene dat door de kubus stroomt noem ik flux en dat geef ik aan met de letter Φ. En deze flux zal niet altijd en overal gelijk zijn, dat zou wel heel bijzonder zijn, en Φ is daarom een functie van x, y, z en t. Bovendien is de flux een vectorgrootheid want hij heeft grootte én richting. Dit samengevat:



Als we dan bijvoorbeeld de rechterwand van de kubus beschouwen dan is de flux door die rechterwand gelijk aan (waarbij ik de x, y, z, t aanduiding vanaf nu weglaat):



Hierin is ξ de hoek tussen de flux en het oppervlak want alleen de component van de flux die loodrecht door het oppervlak stroomt, stroomt er echt doorheen. De component van de flux die gevormd wordt door cos ξ stroomt in het oppervlak en dus niet door het oppervlak de kubus uit. De grootte van de rechterwand is dy dz en die speelt ook mee, want hoe groter de rechterwand hoe meer flux er doorheen zal stromen. Verder neem ik aan dat ik de flux, die een functie is van x, y, z en t, constant mag beschouwen over dit infinitesimaal kleine rechterwandoppervlak. Ik kan dy en dz natuurlijk ook als vectoren beschouwen want ze hebben grootte en richting. Door het uitwendig product te nemen van dy en dz ontstaat een nieuwe vector die een grootte heeft gelijk aan het oppervlakje dat door dy en dz opgespannen wordt:



Voor de flux door de rechterwand kan ik dan ook schrijven:



De vector dA staat loodrecht op het oppervlak, het is een normaalvector, en het gaat nu dus om de complementaire hoek van ξ die ik φ heb genoemd. Maar nu staat er een inwendig product! Ik kan ook schrijven:



Indien het kubusje niet infinitesimaal klein is dan zal ik moeten integreren:



De netto flux door de kubus is dan de som van de fluxen door alle wanden:



Hierbij moet ik wel goed opletten dat de vector dA steeds naar buiten wijst want anders ben ik niet aan het optellen. Dit resultaat kunnen we ook korter opschrijven:



De cirkel door de integraaltekens betekent dat je integreert over het totale oppervlak van het betreffende object, in dit geval de kubus.

We kunnen dit probleem ook anders benaderen. Om te beginnen kijken we alleen in de x-richting. Door de linkerwand komt flux binnen:



En die flux gaat er door de rechterwand weer uit vermeerderd/verminderd met een beetje dΦ (deze dΦ komt erbij vanuit de y-richting of z-richting of is juist afgebogen naar de y-richting of z-richting):



Daarmee wordt de netto flux in de x-richting:



Voor de y-richting en de z-richting krijg ik soortgelijke resultaten:





De totale flux door de kubus is dan:



Ik roep even in herinnering:



Daarmee kan ik de vorige vergelijking ook schrijven als:



Door te integreren over het totale volume van de kubus vind ik de netto flux door de kubus:



Ik heb nu op twee manieren de flux door de kubus bepaald en die kan ik dus aan elkaar gelijk stellen:



Ik ben deze afleiding begonnen met een infinitesimaal klein kubusje maar toen ik ging integreren maakte het eigenlijk helemaal niet meer uit wat de vorm was van het object. Daarom kan ik de kubus-aanduiding net zo goed weglaten:

Deze vergelijking is nu wereldberoemd als de stelling van Gauss.