Wiskunde, raadsel 5

Ik bind een touwtje om een voetbal. Vervolgens wil ik het touwtje wat losser doen, zodanig dat er aan alle kanten één centimeter ruimte zit tussen de bal en het touwtje. Het blijkt dat ik het touwtje dan ruim zes centimeter langer moet maken. Daarna bind ik een heeeeeeeeeel lang touw om de Maan. Hoeveel kilometer touw moet ik (ongeveer) toevoegen om uiteindelijk ook daar overal een tussenruimte van één centimeter te krijgen? Ter info: de diameter van de Maan is bijna zestien miljoen maal die van de bal.

Mijn uitgangspunt is dus een voetbal


De voetbal met touw eromheen
Daar bind ik een stuk touw omheen en daarna blijkt dat ik ruim zes centimeter extra touw nodig heb om overal één centimeter tussenruimte tussen de bal en het touw te krijgen.

De Maan
Vervolgens neem ik een heeeeeeeeeel lang touw en ik bind dat om de Maan. Bijna elfduizend kilometer touw heb ik nodig om een touw om de Maan te binden (dus ik ben wel even bezig). En dan komt de grote vraag: hoeveel kilometer touw moet ik (ongeveer) toevoegen om uiteindelijk ook daar overal een tussenruimte van één centimeter te krijgen?

Het spectaculaire antwoord is: evenveel als bij de voetbal, dus ruim zes centimeter (6.3 centimeter om precies te zijn)! Helemaal geen extra kilometers touw, zelfs geen meters touw, maar iets meer dan zes centimeter touw is voldoende om de klus te klaren. Het antwoord is altijd 6.3 centimeter, ongeacht de omvang van het object waar het touw omheen zit.

De planeet Saturnus
Ik kan zelfs de planeet Saturnus gaan ombinden (dat is best wel lastig, want die ringen zitten in de weg), daarvoor heb ik 375.000 kilometer touw nodig en ook hier hoef ik slechts 6.3 centimeter toe te voegen om één centimeter speling te verkrijgen.

De Orionnevel
De hele Orionnevel zou ik kunnen ombinden met 700 biljoen kilometer (700.000.000.000.000 km) touw, ook dat verandert niets aan het antwoord: 6.3 centimeter extra touw geeft één centimeter speling.

In een dolle bui kan ik zelfs een touw binden om een compleet sterrenstelsel, dat kost me enkele triljoenen kilometers touw (1 triljoen = 1.000.000.000.000.000.000) en heel veel tijd uiteraard, maar heeft geen invloed op het antwoord: 6.3 centimeter extra voor één centimeter speling

Een atoomkern (van beryllium in dit geval)
Ik kan ook de andere kant van het spectrum opzoeken en een touwtje prutsen om een atoomkern, die heeft een diameter van ongeveer 0.000000000000001 meter en de touwlengte is dan grootte-orde ook zoiets. Het maakt allemaal niets uit, ook in dit geval moet ik 6.3 centimeter touw toevoegen voor één centimeter speling.

Voor de liefhebbers volgt hieronder de wiskundige onderbouwing.



Hierboven heb ik het telkens over cirkelvormige objecten (bij goede benadering) en de omtrek van een cirkel is π maal de diameter. Deze omtrek noem ik O1:



Dat is dus ook de lengte van het touw dat ik om het object bind. Vervolgens wil ik overal één centimeter speling. De diameter neemt dus toe met twee centimeter en er ontstaat een nieuwe touwlengte O2:



Nu werk ik de haakjes weg en ik reorganiseer een beetje:



En daar staat het al, het verschil tussen de nieuwe omtrek en de oude omtrek is altijd 2π = 6.283185... ≈ 6.3 centimeter.