Wiskunde, raadsel 4

Een schipbreukeling spoelt aan op een onbewoond eiland. Hij gaat het eiland verkennen en dit blijkt de vorm te hebben van een gelijkzijdige driehoek. Vervolgens vraagt hij zich af waar hij het beste zijn kamp op kan zetten, zodanig dat hij het gemakkelijkst de drie kusten kan bereiken om uit te kijken naar passerende schepen. Waar kan de schipbreukeling het beste zijn kamp opzetten?

Aangespoeld op een onbewoond eiland

Tja, aanspoelen op een onbewoond eiland roept wellicht hele idyllische beelden op zoals het plaatje hierboven. Echter, mensen zijn sociale en bovenal angstige dieren, dus waarschijnlijk ga je al heel snel proberen er weg te komen. Onze schipbreukeling vergaat het niet anders en hij ontdekt dat het eiland de vorm heeft van een gelijkzijdige driehoek (een driehoek waarvan de drie zijden even lang zijn).


Het eiland heeft de vorm van een gelijkzijdige driehoek
En dan komt de boeiende vraag: waar kan hij het beste zijn kamp opzetten zodat hij op de meest efficiënte manier de drie kusten in de gaten kan houden?

Het antwoord is nog veel boeiender: dat maakt helemaal niets uit! Welk punt hij ook kiest, de afstanden die hij moet afleggen naar de verschillende kusten zijn samen altijd gelijk. De schipbreukeling mag een willekeurige locatie uitzoeken voor zijn kampement, er is geen goed of fout.

Natuurlijke obstakels zoals bergen zijn natuurlijk wel iets om rekening mee te houden...
Voor de liefhebbers volgt hieronder de wiskundige onderbouwing.



Voor de bewijsvoering ga ik allereerst uit van een willekeurige driehoek. De driehoek heeft hoekpunten A, B en C, zijden a, b en c, en hoeken α, β en γ:
Ik leg een assenstelsel aan, zodanig dat A samenvalt met de oorsprong en C ligt op de x-as:
Vervolgens kies ik een willekeurig punt K waar de schipbreukeling zijn kamp opzet:
De kortste afstanden vanuit het punt K naar de drie kusten zijn uiteraard die paden die loodrecht op de kusten staan:
Tot slot trek ik nog twee hulplijnen en geef ik nog wat hoeken aan:
Dan kan nu de wiskunde losbarsten :) Het punt K heeft coördinaten (x, y). Ik moet uitdrukkingen zien te vinden voor de lijnstukken KR, KS en KT, oftewel, de afstanden r, s en t. Laten we beginnen met de afstand s, die is het simpelst:



Voor de tangens van de hoek δ geldt:



Zodat voor δ geldt:



Voor de hoek ε kan ik schrijven:



Met behulp van de stelling van Pythagoras kan ik het lijnstuk AK berekenen:



Met behulp van vergelijking (5) kan ik de sinus van ε opschrijven:



Hieruit volgt, met behulp van (4):



Ik breng even de volgende verschilformule (van twee willekeurige hoeken) uit de goniometrie in herinnering:



Hiermee kan ik vergelijking (7) omschrijven als volgt:



Even deze twee tussendoortjes:





Hiermee wordt (9):



En dit combineer ik met vergelijking (3):



Nu moet ik nog een uitdrukking vinden voor r. Voor de tangens van de hoek φ geldt:



Zodat voor φ geldt:



Voor de hoek θ kan ik schrijven:



Met behulp van de stelling van Pythagoras kan ik het lijnstuk CK berekenen:



Met behulp van vergelijking (17) kan ik de sinus van θ opschrijven:



Hieruit volgt, met behulp van (16):



Ik maak wederom gebruik van (8). Daarmee kan ik vergelijking (19) omschrijven als volgt:



Met behulp van de twee tussendoortjes (10) en (11) wordt (20):



En dit combineer ik met vergelijking (15):



De som van r, s en t, die noem ik L, wordt dan:



En nu komt het. Omdat het eiland de vorm heeft van een gelijkzijdige driehoek betekent dit dat α = β = γ. En dus ook dat sin α = sin γ. Daarmee valt de term met x helemaal weg uit vergelijking (23). De som van de hoeken van een driehoek is 180 graden, dus in dit geval is α = β = γ = 60 graden. Hieruit volgt dat cos α = cos γ = 0.5. En daar volgt weer uit dat ook de term met y helemaal wegvalt uit vergelijking (23). In het geval van een gelijkzijdige driehoek is dit wat er overblijft van vergelijking (23):



Hier komt helemaal geen x of y meer in voor, dus het punt K is inderdaad vrij te kiezen. De drie paden naar de drie kusten zijn samen altijd even lang, namelijk: b sin γ!

Zelf even rekenen aan de driehoek? Gebruik dan deze Excel file (opent in een nieuw tabblad).