Wiskunde, raadsel 2

Indien je een stuk of wat boeken hebt (die ongeveer even groot en even zwaar zijn) dan kun je daarmee een stapel maken op de rand van een tafel zodat uiteindelijk het bovenste boek helemaal buiten de tafelrand uitsteekt. De boeiende vraag is: is het mogelijk om een stapel (identieke) boeken zodanig op de rand van een tafel te plaatsen dat het bovenste boek maar liefst twee boeklengtes buiten de tafel uitsteekt?
We gaan dit probleem heel systematisch en stapje voor stapje aanpakken. Als uitgangspunt nemen we aan dat we een forse voorraad identieke boeken hebben. De lengte van een boek is 24 centimeter (het maakt op zich niet uit wat de lengte van een boek is, maar ik stel dat voor het gemak even op 24 centimeter). We pakken een boek en leggen dat precies tegen de rand van de tafel aan:
De logische vraag is dan: hoever kunnen we dit boek naar rechts duwen voordat het over de rand van de tafel kiepert bovenop de hagedis?
Dit boek mag maximaal 12 centimeter, de halve boeklengte, naar rechts geduwd worden. Daarna valt het gegarandeerd over de rand, omdat er dan meer gewicht buiten de tafel hangt dan boven de tafel, en is het au voor de hagedis:
Vervolgens leg ik weer een boek op tafel precies tegen de rand aan en ik leg daar een boek bovenop. Het bovenste boek duw ik gelijk twaalf centimeter over de rand, want ik weet inmiddels dat dat nog net de uiterste grens is waarbij het boek niet op de hagedis valt:
Dan komt uiteraard de vraag op: kan ik deze stapel van twee boeken in zijn geheel een stukje naar rechts duwen zonder dat beide boeken naar beneden kukelen en de hagedis in levensgevaar brengen?
Dit blijkt inderdaad te kunnen, ik kan de stapel maximaal zes centimeter naar rechts schuiven zonder valproblemen:
Ik maak de stapel weer wat hoger. Het bovenste boek ligt twaalf centimeter naar rechts verschoven ten opzichte van het middelste boek en het middelste boek ligt zes centimeter naar rechts verschoven ten opzichte van het onderste boek, want ik weet inmiddels dat dat (nog net) veilige waarden zijn. Het leven van de hagedis is ons dierbaar, toch? Het onderste boek ligt precies tegen de rand van de tafel:
Wederom de interessante vraag: kan de hele stapel probleemloos, met name voor de hagedis, een stukje naar rechts geschoven worden?
En dit blijkt na enig rekenwerk ook mogelijk te zijn, vier centimeter om precies te zijn:
Het gaat erom dat van het totale gewicht van de stapel boeken minstens de helft zich boven de tafel bevindt. Ook bij vier boeken kunnen we daarom nog schuiven, ditmaal drie centimeter:
Op het plaatje hierboven zie je dat er maar vier boeken nodig zijn om het bovenste boek volledig te laten uitsteken. Maar de vraag was of het mogelijk is om twee boeken te laten uitsteken? Ook dit blijkt mogelijk te zijn, want ik kan het proces, zoals hierboven in detail uit de doeken gedaan, eindeloos herhalen. Alleen wordt het naar rechts schuiven van de stapel bij het toevoegen van ieder extra boek steeds minder. Voor het laten uitsteken van twee boeken heb ik daarom een stapel boeken nodig van 31 exemplaren. En omdat ik in theorie eindeloos door kan gaan, kan ik net zo veel boeken laten uitsteken als ik maar wil! Maar daarvoor heb je wel heeeeeeeeeeeeeeel veel boeken nodig zoals uit onderstaande tabel blijkt.
Aantal boeken
dat uitsteekt
Aantal boeken
in de stapel
1 4
2 31
3 227
4 1674
5 12367
6 91380
7 675214
Tabel 1
Maar toch, in theorie kun je oneindig veel boeken laten uitsteken! Puur een kwestie van voldoende tijd, ruimte en boeken hebben... (voor het laten uitsteken van tien boeken is de stapel al enkele honderden miljoenen boeken hoog!) En uiteraard heb je een stevige tafel nodig! En ik zou voor de zekerheid de hagedis weghalen! Voor de liefhebbers volgt hieronder de wiskundige onderbouwing.



Zoals gezegd moet minstens de helft van het gewicht van de stapel boven de tafel blijven, of wat natuurkundiger geformuleerd: het zwaartepunt van de stapel mag niet voorbij de rand komen. Ik begin bij een stapel met één boek:
De rode stip is het zwaartepunt van het boek, die ligt om symmetrieredenen uiteraard precies middenin het boek. Voor het zwaartepunt geldt dan (de linker grijze lijn is x = 0):



Vervolgens komt de stapel met twee boeken:
Voor het gemiddelde van beide zwaartepunten (oftewel, het zwaartepunt van de hele stapel) geldt:



En nu de stapel met drie boeken:
Voor het gemiddelde van de drie zwaartepunten (oftewel, weer het zwaartepunt van de hele stapel) geldt:



De regelmaat moge inmiddels duidelijk zijn, bij het ne boek geldt:



De totale uitsteek voor een stapel van n boeken is de som met alle voorgaande:



Of genormaliseerd naar aantallen boeken (in plaats van centimeters of meters of whatever):



Het optellen van alle termen begint al heel snel uit de hand te lopen. Zoals gezegd, als je wilt weten hoeveel boeken je moet stapelen om er tien uit te laten steken dan gaat het al om honderden miljoenen termen. Met een integraal is dit goed te benaderen en uiteraard werkt dat veel sneller. Daarom kijk ik nogmaals naar de stapel van vier boeken en ik kantel het plaatje negentig graden (en de hagedis is uiteraard gevlucht):
Op deze manier bekeken vormen de onderkanten van de boeken de functie y = 1/x. Die functie ga ik integreren:



Laat ik dat eens even in een tabel uitzetten:
Aantal boeken
dat uitsteekt
Aantal boeken
in de stapel
(exact)
Aantal boeken
in de stapel
(volgens de integraal)
Afwijking [%]
1 4 4 0.0
2 31 28 −9.7
3 227 202 −11.0
4 1674 1491 −10.9
5 12367 11014 −10.9
6 91380 81378 −10.9
7 675214 601303 −10.9
Tabel 2
Middels de integraal zit ik ongeveer elf procent te laag, maar ik ben wel veeeeeeeeeeeeeel sneller klaar met rekenen! En ik kan er natuurlijk rekening mee houden dat ik ongeveer elf procent moet corrigeren.

Zelf even rekenen aan de boeken? Gebruik dan deze Excel file (10.0 Mb, opent in een nieuw tabblad).