Wiskunde, raadsel 1

Hoe kun je met enkele liters verf een oneindig groot oppervlak verven? (in theorie natuurlijk, want een oneindig groot oppervlak past niet in het universum en bovendien zou je voor de constructie ervan oneindig veel materiaal nodig hebben en zoveel is er uiteraard niet voorhanden)
En waarom heb ik hierboven het plaatje van een trompet staan? Omdat daar de sleutel tot het antwoord ligt. Ik ga een trompet construeren als volgt. De opening van de trompet maak ik twintig centimeter breed, dus dit is het vooraanzicht van de trompet:
Verder maak ik de trompet zo dat de diameter van de trompet iedere tien centimeter halveert. De voorkant van de trompet, de opening, is twintig centimeter breed, na tien centimeter de helft (= tien centimeter), na nogmaals tien centimeter weer de helft (= vijf centimeter), enzovoort. Van opzij ziet (de eerste meter van) de trompet er dan zo uit:
Wat is nou de clou? Naarmate ik de trompet langer maak wordt het oppervlak van de trompet steeds groter, dat is logisch. Echter, het volume blijft niet alsmaar toenemen, maar bereikt een maximum bij ruim drie liter. Kortom, door de trompet oneindig lang te maken heeft de trompet een oneindig groot oppervlak, zowel van buiten als van binnen uiteraard. Vervolgens giet ik de trompet vol met verf en met ruim drie liter verf is de hele trompet gevuld en geef ik tevens het oneindig grote binnenoppervlak een kleurtje! Op deze manier kan ik met enkele liters verf een oneindig groot oppervlak verven.

Dit is uiteraard een hypothetische trompet, want de trompet moet oneindig lang gemaakt worden en iets wat oneindig lang is past simpelweg niet in ons universum. Daarnaast zou je voor de constructie van een oneindig lange trompet ook oneindig veel materiaal en oneindig veel tijd nodig hebben, en beide zijn niet beschikbaar. En oneindig moet de trompet echt wel zijn, want het oppervlak groeit maar heel langzaam. Indien de trompet reikt vanaf de Aarde tot aan de eerstvolgende ster, dat is veertig biljoen kilometer (40.000.000.000.000 km!), dan is het oppervlak van de trompet nog maar opgelopen tot ruim 2.5 vierkante meter...

Zelfs wanneer de trompet zich uitstrekt tot het sterrenstelsel Andromeda, een afstand van
negentien triljoen kilometer (19.000.000.000.000.000.000 km), is de oppervlakte van de trompet
nog maar 3.4 vierkante meter
Tenslotte kun je nog een kanttekening plaatsen bij de uitvoering, want op een gegeven moment wordt de trompet zo smal (iedere tien centimeter halveert de diameter) dat er geen verfmolecuul meer doorheen past en er daarom ook geen sprake meer kan zijn van verven.

Maar dat alles maakt dit fenomeen niet minder fascinerend: een voorwerp met een oneindig oppervlak en een eindig volume! Voor de liefhebbers volgt hieronder de wiskundige onderbouwing.



De vorm van de trompet voldoet aan de volgende vergelijking (voor het gemak in decimeters):



Door deze functie om de x-as te wentelen vormt zich een omwentelingslichaam. Het oppervlak van dit omwentelingslichaam is (L is de lengte van de trompet, en L = 0 bij x = 1):



Voor het oplossen van deze integraal heb ik gebruik gemaakt van de tabel met standaardintegralen.

Het volume van dit omwentelingslichaam is:



De limietovergangen voor L gaat naar oneindig zijn:





Zelf even rekenen aan de trompet? Gebruik dan deze Excel file (opent in een nieuw tabblad).