Integreren: y = 1/(1 + a cos x)

Trefwoorden/keywords: integraal/integral, integreren/integrate, y = 1/(1 + a cos x)







De integraal van deze functie gaat via wat trucs en omwegen. Om te beginnen zet ik de cosinus om naar een kwadraatvorm door gebruik te maken van de dubbele-hoek-formules uit de goniometrie: Daarbij gebruik ik:



Ik stel daarom:





Dan kan ik de integraal schrijven als:



Vervolgens maak ik ook nog gebruik van:



Nu ga ik een partij knutselen:



Ik stel nu dat:



Hierdoor wordt de integraal:



Ik ga nogmaals over naar een andere variabele:





Hetgeen ons uiteindelijk brengt bij de integraal:



De oplossing van de integraal van 1/(a2 − x2) kun je elders terugvinden in de tabel met standaardintegralen. De integraal wordt dan:



Nu moeten we uiteraard nog terugwerken naar de oorspronkelijke variabelen. Eerst vervang ik v door u en daarna u door x, en voor b schrijf ik weer a:



Ter controle ga ik het resultaat differentiëren: