Integreren: y = 1/(a + b cos x + c sin x + d cos2 x + e sin2 x)3/2

Trefwoorden/keywords: integraal/integral, integreren/integrate, y = 1/(a + b cos x + c sin x + d cos2 x + e sin2 x)3/2





Het oplossen van deze integraal brengt heel wat transformaties met zich mee en het oplossen van talrijke vergelijkingen, maar daar zullen we toch doorheen moeten. Voorlopig richt ik mij alleen op de te integreren functie, het feitelijke integreren komt later:



Om te beginnen ga ik de functie even reorganiseren. Daarvoor gebruik ik deze formule uit de goniometrie:



Hiermee kan ik de functie schrijven als:



Dit resultaat ga ik nog wat verder verbouwen:



Ik stel:









Zodat de functie deze overzichtelijker vorm krijgt:

Het was Gauss (jawel, alweer Gauss) die in 1818 met de geweldige inval kwam om op een zeer ingenieuze wijze over te gaan naar een andere variabele.

De transformatie ziet er als volgt uit (in matrixnotatie):



Of heel compact opgeschreven:



Hierin is Λ de transformatiematrix:



En voor de vectoren t en x geldt:





Of volledig uitgeschreven:







Uit de vergelijkingen (8) volgt dat voor cos x respectievelijk sin x geldt:





Het deel tussen haken van de noemer van de functie noem ik voor het gemak Q:



Met behulp van de vergelijkingen (9) kan ik voor Q schrijven:



Om redenen die later duidelijk worden ga ik Q vermenigvuldigen met het kwadraat van P:



Vervolgens ga ik de haken wegwerken en wat termen samennemen:



Middels de matrix Λ heb ik negen variabelen geïntroduceerd. Aan die variabelen ga ik wat eisen stellen, ik wil namelijk dat in bovenstaande vergelijking de coëfficiënten van cos t, sin t en het product cos t sin t altijd nul zijn:







Daarmee versimpelt (13) tot:



Ik roep nog wat extra variabelen in het leven:







Waardoor vergelijking (15) deze overzichtelijke vorm aanneemt:



Wat kunnen we verder zeggen over de variabelen α, β en γ? Dat gaan we nu uitzoeken. Uit de goniometrie weten we dat altijd moet gelden:





Uitgaande van (18a) en met behulp van de vergelijkingen (9) krijg ik:



Vervolgens ga ik weer haken wegwerken en termen samennemen:



En dit moet dan overeenkomen met (18b), waaruit volgt:













Of in matrixnotatie:



Vervolgens doe ik nu eerst deze drie tussendoortjes waarbij ik gebruik maak van de vergelijkingen (21):







Als ik dan nu verder werk vanuit vergelijking (18b) en gebruik maak van de vergelijkingen (23) dan krijg ik:



Dan komt nu weer de leuke klus van het haken wegwerken:



En dit moet dan weer overeenkomen met (18a), waaruit volgt:













Of in matrixnotatie:



De determinant van Λ is:



Ik ga ook de determinant opschrijven van de matrix uit vergelijking (27) die naast Λ staat (die noem ik M):



En ik schrijf de determinant op van de matrix uit vergelijking (27) die in het rechterlid staat (die noem ik N):



Door vergelijking (27) uit te schrijven in determinanten krijg ik dus:



Ik kies uiteraard voor het gemak D = +1. Vervolgens bereken ik achtereenvolgens de producten van D met α1, α2, α3, β1, β2, β3, γ1, γ2 en γ3:



















Nu maak ik gebruik van de vergelijkingen (21):



















En omdat D = 1 worden de vergelijkingen (31):



















Zijn we dan nu eindelijk klaar met al dit gegoochel met variabelen? Nee, nog lang niet, blijf kijken en huiveren! De vergelijkingen (8) beschrijven x als functie van t:







Door te stellen dat:













Dan kan ik de vergelijkingen (8) ook zo schrijven:







Hier staat x als functie van t, maar nu wil ik ook nog het omgekeerde weten, dus t als functie van x. Daarvoor deel ik bovenstaande vergelijkingen door α3, respectievelijk β3 en γ3:







Vervolgens trek ik vergelijking (35b) van (35a) af en ik trek ook (35c) van (35a) af:





En zo zijn we t3 kwijtgeraakt. Deze procedure gaan we nog een keer doorlopen, nu ga ik t2 eruit werken:





En vervolgens trek ik (37b) van (37a) af en ik ga een partij knutselen:



Nu ga ik gebruik maken van de vergelijkingen (21) en (32):



Nu hebben we een uitdrukking voor t1. Vanuit de vergelijkingen (36) kan ik natuurlijk ook t1 eruit werken om tot een uitdrukking voor t2 te komen:





En vervolgens trek ik (40b) van (40a) af en ik ga weer een partij knutselen:



Nu ga ik weer gebruik maken van de vergelijkingen (21) en (32) om tot een uitdrukking voor t2 te komen:



Tenslotte heb ik nog een uitdrukking nodig voor t3 als functie van x. Daarvoor deel ik de vergelijkingen (34) door α1, respectievelijk β1 en γ1:







Vervolgens trek ik vergelijking (43b) van (43a) af en ik trek ook (43c) van (43a) af:





En zo zijn we t1 kwijtgeraakt. Deze procedure gaan we nog een keer doorlopen, nu ga ik t2 eruit werken:





En vervolgens trek ik (45b) van (45a) af en ik ga weer een partij knutselen:



Nu ga ik weer gebruik maken van de vergelijkingen (21) en (32) om tot een uitdrukking voor t3 te komen:



Middels de vergelijkingen (39), (42) en (47) hebben we uitdrukkingen gevonden voor t als functie van x:







Dit ziet er in matrixnotatie zo uit:



Nu gaan dingen (eindelijk) op hun plaats vallen. Ik ga nogmaals het product P2Q uitrekenen, maar nu met behulp van de vergelijkingen (33):



En door vanuit vergelijking (17) verder te werken krijg ik, wederom met hulp van de vergelijkingen (33):



De vergelijkingen (49) en (50) kan ik dus aan elkaar gelijk stellen:



Nu ga ik de waarden van t1, t2 en t3 invullen zoals ik die verkregen heb uit de vergelijkingen (39), (42) en (47):



Door de termen links en rechts te vergelijken volgt hieruit:













De bovenstaande zes vergelijkingen plus de zes vergelijkingen (21) vormen samen twaalf onafhankelijke vergelijkingen waaruit ik de twaalf onbekenden n1, n2, n3, α1, α2, α3, β1, β2, β3, γ1, γ2 en γ3 kan oplossen. Omdat de onbekenden n1, n2 en n3 mij het meest interesseren ga ik me daarop richten. Daartoe ga ik de zes vergelijkingen (53) opschrijven in drie groepen van drie, dit is de eerste groep:







Dit is de tweede groep:







En dit is de derde groep:







Nu werk ik eerst verder met de eerste groep. Ik vermenigvuldig die drie vergelijkingen met respectievelijk α1, β1 en γ1, daarna met α2, β2 en γ2, en tenslotte met α3, β3 en γ3:



















Nu trek ik (57b) en (57c) van (57a) af, ik neem gelijk wat termen samen en ik maak gebruik van de vergelijkingen (21):



Nu trek ik (58b) en (58c) van (58a) af, ik neem gelijk wat termen samen en ik maak gebruik van de vergelijkingen (21):



Nu trek ik (59b) en (59c) van (59a) af, ik neem gelijk wat termen samen en ik maak gebruik van de vergelijkingen (21):



Je voelde het waarschijnlijk al aankomen, dit ga ik ook doen voor de tweede - en de derde groep. Voor de tweede groep is het dus ook weer vermenigvuldigen met respectievelijk α1, β1 en γ1, daarna met α2, β2 en γ2, en tenslotte met α3, β3 en γ3:



















Nu trek ik (61b) en (61c) van (61a) af, ik neem gelijk wat termen samen en ik maak gebruik van de vergelijkingen (21):



Nu trek ik (62b) en (62c) van (62a) af, ik neem gelijk wat termen samen en ik maak gebruik van de vergelijkingen (21):



Nu trek ik (63b) en (63c) van (63a) af, ik neem gelijk wat termen samen en ik maak gebruik van de vergelijkingen (21):



Zoals ik aan het begin van deze pagina al zei dienen er heel wat vergelijkingen opgelost te worden, dus we gaan vrolijk verder. Voor de derde groep volgt weer dezelfde aanpak, dus vermenigvuldigen met respectievelijk α1, β1 en γ1, daarna met α2, β2 en γ2, en tenslotte met α3, β3 en γ3:



















Nu trek ik (65b) en (65c) van (65a) af, ik neem gelijk wat termen samen en ik maak gebruik van de vergelijkingen (21):



Nu trek ik (66b) en (66c) van (66a) af, ik neem gelijk wat termen samen en ik maak gebruik van de vergelijkingen (21):



Nu trek ik (67b) en (67c) van (67a) af, ik neem gelijk wat termen samen en ik maak gebruik van de vergelijkingen (21):



Ik stel:













Daarmee worden de vergelijkingen (64) en (68):













Met deze zes vergelijkingen ga ik uitdrukkingen formuleren voor α1, α2, α3, β1, β2, β3, γ1, γ2 en γ3 (in het kwadraat) als functies van f1, f2, f3, g1, g2 en g3. Ik begin met α1, α2 en α3. Daartoe substitueer ik eerst (71a) en (72a) in (21a), vervolgens substitueer ik (71b) en (72b) in (21b), en daarna substitueer ik (71c) en (72c) in (21c):







Deze resultaten stop ik in de vergelijkingen (71) om uitdrukkingen te vinden voor β1, β2 en β3 (in het kwadraat):







En door de vergelijkingen (73) in de vergelijkingen (72) te stoppen vind ik uitdrukkingen voor γ1, γ2 en γ3 (in het kwadraat):







De vergelijkingen (71) en (73) helpen mij om vergelijkingen te vinden voor de α1β1, α2β2 en α3β3 producten:







De vergelijkingen (72) en (73) helpen mij om vergelijkingen te vinden voor de α1γ1, α2γ2 en α3γ3 producten:







En de vergelijkingen (71), (72) en (73) helpen mij om vergelijkingen te vinden voor de β1γ1, β2γ2 en β3γ3 producten:







Allemaal prachtig natuurlijk, maar nu weet ik nog steeds niets over n1, n2 en n3. Daarom ga ik nu verder werken met deze negen vergelijkingen:



















Ik substitueer de vergelijkingen (64a) en (68a) in (60a):



En ik substitueer de vergelijkingen (64b) en (68b) in (60b):



En ik substitueer de vergelijkingen (64c) en (68c) in (60c):



Ik zet de resultaten van de vergelijkingen (79) even netjes onder elkaar:







Ik stel:







Het moge duidelijk zijn dat n1', n2' en n3' de nulpunten zijn van de derdegraads vergelijking:



Ik stel:







Waardoor (81) wordt:



We gaan ons nu bezig houden met het oplossen van een derdegraads vergelijking (klik op de link voor alle details). Eerst voer ik de volgende translatie uit:



Dan gaat (83) over naar de gereduceerde functie:



Hierin zijn p' en q':





En dit is de discriminant k' van een derdegraads vergelijking:



De discriminant geeft aan hoeveel nulpunten er zijn: Hierbij heb ik het uiteraard over de reële nulpunten, want ik wil een reële transformatie van x naar t zonder dat er ergens imaginaire getallen opduiken. Dus k' moet kleiner dan nul zijn. Ik introduceer nu de hoek θ':



Hiermee kan ik de drie nulpunten berekenen als volgt:



Ik pak vergelijking (17) er weer bij en ik verbouw die een beetje:



Het product P2Q staat onder een wortelteken en moet dus positief zijn, want anders heeft deze hele transformatie geen zin. Om die reden moet (n1' − n2') altijd positief zijn, dus het nulpunt n1' moet rechts van n2' liggen. Verder wil ik dat die breuk voor de sin2 t ook altijd positief is, daarom moet (n3' − n2') ook altijd positief zijn (de noemer was het al, zie de vorige zin) en daarom moet n3' ook rechts van n2' liggen. Verder moet de teller van de breuk kleiner zijn dan de noemer van de breuk, omdat de breuk anders groter dan één kan worden waardoor P2Q alsnog negatief wordt, dus (n3' − n2') moet kleiner zijn dan (n1' − n2'). Dit alles betekent dat n2' het linkernulpunt is, n3' de middelste en n1' is het rechtermiddelpunt:







Voor n1, n2 en n3 volgt hieruit:







Ik stel:





Waarmee vergelijking (90) wordt:



Nu grijp ik helemaal terug naar vergelijking (6), de functie waar ik dit hele verhaal mee begonnen ben, en ik ga de transformatie naar t erin brengen:



Ik stel:



De noemer van de functie ziet er nu al een heel stuk aantrekkelijker uit. De integraal wordt dan:



We zitten nu nog met de teller waar die P3 is opgedoken en natuurlijk moet dx nog getransformeerd worden naar dt. Ik ga eerst met de omzetting van dx naar dt aan de slag. Daarvoor maak ik gebruik van de vergelijkingen (9):





Ik neem links en rechts de differentiaal van vergelijking (9a):



Vervolgens substitueer ik (9b) in (98) en ga ik een partij knutselen:



Dan ga ik nu weer haken wegwerken en termen samennemen:



Met behulp van de vergelijkingen (32) wordt dit:



Zo ontstaat uiteindelijk de volgende integraal:



Met behulp van de vergelijkingen (8) wordt dit:



Omdat de grenzen van de integraal 0 en 2π zijn, kunnen we enkele termen van de teller van (103) wegstrepen omdat die als resultaat nul opleveren. Om dat in te zien heb ik een grafiek gemaakt van de term met de sinus (de bruine lijn in de figuur hieronder).



Figuur 1
Die sinus (de bruine lijn) beweegt zich heerlijk symmetrisch om de x-as en door te integreren van 0 tot 2π levert dat nul als resultaat. Ditzelfde verhaal geldt natuurlijk ook voor de term met de cosinus en het product van beide. Vergelijking (103) vereenvoudigt daarmee tot:



Nu ga ik die cos2 t eruit werken:



Ik kan dit verder verbouwen tot:



Ik stel:





Waardoor (106) overgaat in:



En zo is onze integraal uiteindelijk uitgedrukt in twee bekende (elliptische) integralen. Deze beide integralen vinden we terug in de tabel met standaardintegralen. Aldus bereiken we het antwoord:





Ik ga dit hele verhaal even samenvatten, dit was het uitgangspunt:



Allereerst verbouw ik de te integreren functie door te stellen dat:









Zodat de functie deze overzichtelijker vorm krijgt:



Ik ga over naar een andere variabele, van x naar t:











Daarna komen er heel veel transformatievergelijkingen die tot diverse relaties tussen de α’s, β’s en γ’s leiden:





























































Ik stel:













Hiermee kom ik tot negen uitdrukkingen voor α1, α2, α3, β1, β2, β3, γ1, γ2 en γ3 (in het kwadraat) als functies van f1, f2, f3, g1, g2 en g3:



















Tevens volgen negen uitdrukkingen voor de diverse kruisproducten tussen de α’s, β’s en γ’s:



















Uiteindelijk is dit de opmaat naar een derdegraads vergelijking om de drie nulpunten n1, n2 en n3 te bepalen:









Dan volgt er een translatie:



Zo ontstaat de gereduceerde vergelijking:



Waarin:





Ik definieer de hoek θ':



Hiermee kunnen de drie nulpunten bepaald worden:







Daarna kan ik het volgende stellen:







De differentialen van x en t verhouden zich als volgt:



En zo ontstaat uiteindelijk deze integraal:



Die laat zich vervolgens omschrijven naar elliptische integralen:



Waarin:





Zo bereik ik uiteindelijk het langverwachte antwoord: