Integreren

Integreren is wiskundig gezien de omgekeerde bewerking van differentiëren:





Het deel hierboven binnen de lichtblauwe rechthoek noemen we de integraal. Die rare slinger, die misvormde s, is het integraalteken. De functie die geïntegreerd wordt, in dit geval f (x), heet de integrand. In de vergelijking hierboven integreren we naar x (te herkennen aan het d-tje dat er voor staat), die noemen we de integratievariabele. De functie F (x) heet de primitieve functie (of kortweg primitieve) of stamfunctie van de functie f (x). Door de bewerking van het integreren ontstaat een constante, de integratieconstante (doorgaans aangeduid met c), want door de omgekeerde bewerking van het differentiëren vallen alle constanten weg (de afgeleide van een constante is immers nul). Net zoals er een tabel met standaardafgeleiden bestaat, zo bestaat er ook een tabel met standaardintegralen. De meetkundige betekenis van integreren is het bepalen van de oppervlakte tussen de functie en de horizontale as. Door meervoudig te integreren kun je ook volumes bepalen.

Zoals gezegd kun je met integreren oppervlakten en volumes berekenen. Stel dat ik van een functie het oppervlak wil bepalen tussen die functie en de x-as over de afstand van x = a tot x = b dan zijn a en b de integratiegrenzen van de integraal of kortweg de grenzen. Een integraal waarbij geen integratiegrenzen vermeld staan, zoals bij nagenoeg alle integralen op deze pagina, is een onbepaalde integraal. Zijn de grenzen wel bekend dan hebben we te maken met een bepaalde integraal en dat wordt als volgt genoteerd en uitgewerkt (ik bereken hier het oppervlak A tussen de functie y = x2 en de x-as over de afstand van x = 3 tot x = 5):



In dit voorbeeld van een bepaalde integraal is 3 de ondergrens en 5 de bovengrens. Wanneer de primitieve functie bepaald is vul je eerst de bovengrens in en daarna de ondergrens en die twee getallen trek je van elkaar af en klaar is Kees. Komt er een negatief getal uit dan ligt de functie grotendeels, of misschien wel helemaal, onder de x-as.

Terwijl het met differentiëren zo is dat je uiteindelijk altijd tot een afgeleide komt door simpelweg regeltjes te volgen (je kunt er gemakkelijk een computerprogramma voor schrijven), is het met integreren vaak totaal anders. Er is geen standaardmethode om een integraal aan te pakken, zodanig dat je altijd tot een oplossing komt. Maar er is wel een reeks handigheidjes die je kunt toepassen en die dan wellicht de sleutel vormen tot een oplossing.
  1. De eerste truc heet kijken. Dit klinkt heel flauw, maar soms lijkt het allemaal heel ingewikkeld en kun je door goed te kijken al de oplossing zien.

    Voorbeeld 1:



    Dit ziet er in eerste instantie wellicht ingewikkeld uit en je zou de neiging kunnen krijgen om die vijfde macht uit te werken om de haakjes kwijt te raken. Echter, in tweede instantie zie je dat die x2 de afgeleide is van x3 en dan wordt de oplossing heel simpel:



    Voorbeeld 2:



    In eerste instantie wordt je wellicht een beetje paniekerig van deze functie, maar in tweede instantie zie je dat de teller de afgeleide is van de noemer en dan wordt de oplossing heel simpel:



    Kortom, neem eerst de tabel met alle standaardafgeleiden en de tabel met standaardintegralen ter hand en kijk ‘of het ergens op lijkt’. Als dat het geval is, dan zit je vaak al een heel eind in de goede richting.

  2. De tweede truc heet breuksplitsing. Dit is uiteraard alleen een mogelijk redmiddel wanneer je met een breuk te maken hebt. Indien de noemer is te ontbinden in factoren dan is één van die factoren misschien uit te delen in de teller, hetzij direct, hetzij indirect door nog wat aan de teller te sleutelen (door er machten van x bij op te tellen en gelijk weer vanaf te trekken). Terwijl je met één breuk begon gaat het aantal breuken hierdoor wel toenemen, maar daarmee komt ook een oplossing dichterbij. Als de noemer niet is te ontbinden in factoren dan gaat breuksplitsing niet werken.

    Voorbeeld 1:





    Voorbeeld 2:





    Voorbeeld 3:




  3. De derde truc heet goniometrische substitutie. Deze methode kan heel handig zijn om wortels kwijt te raken. Door de variable x te vervangen door sin t, tan t of sec t krijgt het integratieprobleem ineens een hele andere vorm. Heb je iets van de vorm √ (a − x2) dan is de vervanging van x door sin t handig, heb je iets van de vorm √ (a + x2) dan is de vervanging door tan t handig en voor √ (x2 − a) kan vervanging door sec t redding brengen.

    Voorbeeld 1:





    Voorbeeld 2:




  4. De vierde truc heet partieel integreren. Vanuit het differentiëren kennen we de productregel en die gebruiken we indien een functie bestaat uit het product van twee andere functies:





    Oftewel:



    Dit kan ik ook anders opschrijven, waarbij ik gelijk de functie-van-x-aanduidingen weglaat:



    Nu ga ik alles integreren:



    De integraal van de afgeleide is uiteraard weer de oorspronkelijke functie:



    En tenslotte bereik ik mijn einddoel door een integraal naar de andere kant te brengen:



    Ik zal wederom laten zien hoe dit in de praktijk uitwerkt.

    Voorbeeld 1:





    Voorbeeld 2:



Uiteindelijk is er van vele functies de integraal te bepalen: