Integratiemethode: reeksontwikkeling

We danken het aan de Engelse wiskundige Brook Taylor dat we nu weten dat een wiskundige functie ook te schrijven is als een polynoom, een functie met allemaal machten van x. Dit bereiken we door de functie telkens weer te differentiëren. Dat ziet er dan als volgt uit (we ontwikkelen vanuit het startpunt x = a en we sommeren over n = 0, 1, 2, 3, 4, enzovoort):



Dit noemen we reeksontwikkeling. Hierin is f n de ne afgeleide van f (x). Het kan handig zijn om de reeks rond een bepaald punt, x = a, te ontwikkelen maar vaak mag voor a gewoon nul gekozen worden:



Voor een e-macht ziet dat er bijvoorbeeld als volgt uit (waaraan je ook kunt zien dat de e-macht zijn eigen afgeleide is):



Dit helpt ons bij het integreren van deze functie:



De integraal wordt dan:



We hebben natuurlijk liever een beknopter antwoord, maar in dit computertijdperk is een oplossing zoals hierboven eigenlijk geen probleem meer. Wees er bij deze methode wel op bedacht of de reeks voor alle waarden van x werkt, dus dat de reeks altijd convergeert.

Meer integralen waarbij reeksontwikkeling is toegepast:
Integrand Primitieve
Toon uitwerking
Toon uitwerking
Toon uitwerking
Toon uitwerking
Toon uitwerking
Toon uitwerking
Toon uitwerking