Hyperbolische functies
De definitie van de hyperbolische functies.
Sinus hyperbolicus:
Cosinus hyperbolicus:
Tangens hyperbolicus:
Cosecans hyperbolicus:
Secans hyperbolicus:
Cotangens hyperbolicus:
Waaruit volgt:
De inverse hyperbolische functies.
Area sinus hyperbolicus:
Area cosinus hyperbolicus:
Area tangens hyperbolicus:
Area cosecans hyperbolicus:
Area secans hyperbolicus:
Area cotangens hyperbolicus:
De inverse hyperbolische functies zijn ook te schrijven als logaritmische functies. Om te laten zien hoe je ze omschrijft maak ik gebruik van de abc-formule voor het oplossen van een tweedegraads vergelijking:
Dit is de sinus hyperbolicus:
De area sinus hyperbolicus is de inverse functie hiervan, dus x en y wisselen van plaats:
Nu ga ik de inverse functie omschrijven zodat y weer geschreven wordt als functie van x:
Het resultaat van de wortel moet positief zijn, want anders zitten we met de logaritme van een negatief getal en dat kan niet. Het resultaat van het omschrijven wordt dus:
Dit is de cosinus hyperbolicus:
De area cosinus hyperbolicus is de inverse functie hiervan, dus x en y wisselen van plaats:
Nu ga ik de inverse functie omschrijven zodat y weer geschreven wordt als functie van x:
Het resultaat van het omschrijven wordt dus:
Dit is de tangens hyperbolicus:
De area tangens hyperbolicus is de inverse functie hiervan, dus x en y wisselen van plaats:
Nu ga ik de inverse functie omschrijven zodat y weer geschreven wordt als functie van x:
Het resultaat van het omschrijven wordt dus:
Dit is de cosecans hyperbolicus:
De area cosecans hyperbolicus is de inverse functie hiervan, dus x en y wisselen van plaats:
Nu ga ik de inverse functie omschrijven zodat y weer geschreven wordt als functie van x:
Het resultaat van de wortel moet positief zijn, want anders zitten we met de logaritme van een negatief getal en dat kan niet. Het resultaat van het omschrijven wordt dus:
Dit is de secans hyperbolicus:
De area secans hyperbolicus is de inverse functie hiervan, dus x en y wisselen van plaats:
Nu ga ik de inverse functie omschrijven zodat y weer geschreven wordt als functie van x:
Het resultaat van het omschrijven wordt dus:
Dit is de cotangens hyperbolicus:
De area cotangens hyperbolicus is de inverse functie hiervan, dus x en y wisselen van plaats:
Nu ga ik de inverse functie omschrijven zodat y weer geschreven wordt als functie van x:
Het resultaat van het omschrijven wordt dus:
Waaruit volgt:
Samengevat:
Sinus hyperbolicus:

Cosinus hyperbolicus:

Tangens hyperbolicus:

Cosecans hyperbolicus:

Secans hyperbolicus:

Cotangens hyperbolicus:

Waaruit volgt:







De inverse hyperbolische functies.
Area sinus hyperbolicus:

Area cosinus hyperbolicus:

Area tangens hyperbolicus:

Area cosecans hyperbolicus:

Area secans hyperbolicus:

Area cotangens hyperbolicus:

De inverse hyperbolische functies zijn ook te schrijven als logaritmische functies. Om te laten zien hoe je ze omschrijft maak ik gebruik van de abc-formule voor het oplossen van een tweedegraads vergelijking:


Dit is de sinus hyperbolicus:

De area sinus hyperbolicus is de inverse functie hiervan, dus x en y wisselen van plaats:

Nu ga ik de inverse functie omschrijven zodat y weer geschreven wordt als functie van x:

Het resultaat van de wortel moet positief zijn, want anders zitten we met de logaritme van een negatief getal en dat kan niet. Het resultaat van het omschrijven wordt dus:

Dit is de cosinus hyperbolicus:

De area cosinus hyperbolicus is de inverse functie hiervan, dus x en y wisselen van plaats:

Nu ga ik de inverse functie omschrijven zodat y weer geschreven wordt als functie van x:

Het resultaat van het omschrijven wordt dus:

Dit is de tangens hyperbolicus:

De area tangens hyperbolicus is de inverse functie hiervan, dus x en y wisselen van plaats:

Nu ga ik de inverse functie omschrijven zodat y weer geschreven wordt als functie van x:

Het resultaat van het omschrijven wordt dus:

Dit is de cosecans hyperbolicus:

De area cosecans hyperbolicus is de inverse functie hiervan, dus x en y wisselen van plaats:

Nu ga ik de inverse functie omschrijven zodat y weer geschreven wordt als functie van x:

Het resultaat van de wortel moet positief zijn, want anders zitten we met de logaritme van een negatief getal en dat kan niet. Het resultaat van het omschrijven wordt dus:

Dit is de secans hyperbolicus:

De area secans hyperbolicus is de inverse functie hiervan, dus x en y wisselen van plaats:

Nu ga ik de inverse functie omschrijven zodat y weer geschreven wordt als functie van x:

Het resultaat van het omschrijven wordt dus:

Dit is de cotangens hyperbolicus:

De area cotangens hyperbolicus is de inverse functie hiervan, dus x en y wisselen van plaats:

Nu ga ik de inverse functie omschrijven zodat y weer geschreven wordt als functie van x:

Het resultaat van het omschrijven wordt dus:

De formules van Euler:


Waaruit volgt:






Samengevat:
Hyperbolische functies |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
Hyperbolische functies met negatieve x |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
Hyperbolische functies met imaginaire x |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
Inverse hyperbolische functies |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
![]() |
Rekenregel |
![]() |