Hyperbolische functies

De definitie van de hyperbolische functies.

Sinus hyperbolicus:



Cosinus hyperbolicus:



Tangens hyperbolicus:



Cosecans hyperbolicus:



Secans hyperbolicus:



Cotangens hyperbolicus:



Waaruit volgt:















De inverse hyperbolische functies.

Area sinus hyperbolicus:



Area cosinus hyperbolicus:



Area tangens hyperbolicus:



Area cosecans hyperbolicus:



Area secans hyperbolicus:



Area cotangens hyperbolicus:



De inverse hyperbolische functies zijn ook te schrijven als logaritmische functies. Om te laten zien hoe je ze omschrijft maak ik gebruik van de abc-formule voor het oplossen van een tweedegraads vergelijking:





Dit is de sinus hyperbolicus:



De area sinus hyperbolicus is de inverse functie hiervan, dus x en y wisselen van plaats:



Nu ga ik de inverse functie omschrijven zodat y weer geschreven wordt als functie van x:



Het resultaat van de wortel moet positief zijn, want anders zitten we met de logaritme van een negatief getal en dat kan niet. Het resultaat van het omschrijven wordt dus:



Dit is de cosinus hyperbolicus:



De area cosinus hyperbolicus is de inverse functie hiervan, dus x en y wisselen van plaats:



Nu ga ik de inverse functie omschrijven zodat y weer geschreven wordt als functie van x:



Het resultaat van het omschrijven wordt dus:



Dit is de tangens hyperbolicus:



De area tangens hyperbolicus is de inverse functie hiervan, dus x en y wisselen van plaats:



Nu ga ik de inverse functie omschrijven zodat y weer geschreven wordt als functie van x:



Het resultaat van het omschrijven wordt dus:



Dit is de cosecans hyperbolicus:



De area cosecans hyperbolicus is de inverse functie hiervan, dus x en y wisselen van plaats:



Nu ga ik de inverse functie omschrijven zodat y weer geschreven wordt als functie van x:



Het resultaat van de wortel moet positief zijn, want anders zitten we met de logaritme van een negatief getal en dat kan niet. Het resultaat van het omschrijven wordt dus:



Dit is de secans hyperbolicus:



De area secans hyperbolicus is de inverse functie hiervan, dus x en y wisselen van plaats:



Nu ga ik de inverse functie omschrijven zodat y weer geschreven wordt als functie van x:



Het resultaat van het omschrijven wordt dus:



Dit is de cotangens hyperbolicus:



De area cotangens hyperbolicus is de inverse functie hiervan, dus x en y wisselen van plaats:



Nu ga ik de inverse functie omschrijven zodat y weer geschreven wordt als functie van x:



Het resultaat van het omschrijven wordt dus:

De formules van Euler:





Waaruit volgt:













Samengevat:
Hyperbolische functies
Hyperbolische functies met negatieve x
Hyperbolische functies met imaginaire x
Inverse hyperbolische functies
Rekenregel