Goniometrie

Beschouw de volgende driehoek:


Figuur 1
De zijde b noemt men de aanliggende zijde (gezien vanuit de hoek α) en de zijde a noemt men de overstaande zijde (gezien vanuit de hoek α). Vanuit de hoek β gezien is dit precies andersom. De zijde c noemt men de schuine zijde of hypotenusa.

De definitie van sinus (sin) is overstaande zijde/schuine zijde:



De definitie van cosinus (cos) is aanliggende zijde/schuine zijde:



De definitie van tangens (tan) is overstaande zijde/aanliggende zijde:



De reciproke versies van dit drietal worden gevormd door cosecans (csc), secans (sec) en cotangens (cot):







Oftewel:







Merk op dat:





Als gevolg van het voorgaande kennen we de goniometrische functies:













Van de bovenstaande zes functies kan x variëren van 0 tot 360 graden en dat levert dan de volgende grafieken op:


Figuur 2: sinus





Figuur 3: cosinus





Figuur 4: tangens





Figuur 5: cosecans





Figuur 6: secans





Figuur 7: cotangens
De inverse functies hiervan zijn de zes cyclometrische functies boogsinus, boogcosinus, boogtangens, boogcosecans, boogsecans en boogcotangens (Engels: arc = boog):













Stel ik heb een driehoek met zijden a, b en c en één hoek van 90 graden, zie onderstaande figuur:


Figuur 8

Indien ik de drie zijden van deze driehoek ‘uitvouw’ tot vierkanten dan blijkt dat de oppervlakte van het blauwe vierkant exact gelijk is aan de oppervlakte van het groene vierkant en de oppervlakte van het oranje vierkant samen. Dit kennen we als de Stelling van Pythagoras (niet dat hij het ontdekt heeft, maar hij is min of meer toevallig de geschiedenisboekjes ingegaan als eerste-opschrijver, zo zie je maar dat je lang niet altijd iets hoeft te ontdekken om de geschiedenis in te gaan):



Waaruit volgt voor een willekeurige hoek ζ:



Beschouw de volgende driehoek:


Figuur 9
Er geldt:



Sinusregel:





Cosinusregel:







Beschouw de volgende driehoeken:


Figuur 10
Hieruit is het volgende af te lezen, allereerst de som van twee willekeurige hoeken α en β:





En het verschil van twee willekeurige hoeken α en β:





Indien we stellen dat α = β, en door gebruik te maken van sin2 α + cos2 α = 1, dan volgen hieruit de dubbele-hoek-formules:





Waaruit de volgende veelgebruikte handigheidjes volgen:





Door de vergelijkingen (38) en (39) bij elkaar op te tellen respectievelijk van elkaar af te trekken krijg ik:





Door de vergelijkingen (32) en (34) bij elkaar op te tellen respectievelijk van elkaar af te trekken krijg ik:





Door de vergelijkingen (33) en (35) bij elkaar op te tellen respectievelijk van elkaar af te trekken krijg ik:





Van deze set rekenregels ga je veel plezier beleven:


























Tot nu toe hadden we het over platte driehoeken, driehoeken in het platte vlak, maar we hebben ook de interessante categorie driehoeken op een bol. Stel je een driehoek voor op een bol, een gebogen driehoek, oftewel een boldriehoek:


Figuur 11
Deze driehoek heeft hoekpunten A, B en C, zijden a, b en c, en de hoeken heten net als de hoekpunten A, B en C. In het punt A teken ik een raakvlak aan de bol, en dit raakvlak teken ik in de vorm van een driehoek:


Figuur 12
De punten P en Q heb ik natuurlijk niet willekeurig gekozen, maar om redenen die nu duidelijk zullen worden. Ik ga het midden van de bol aangeven, de oorsprong, en nog wat hoeken:


Figuur 13
Merk op dat de afstanden OA, OB en OC gelijk zijn aan de straal van de bol en die straal noem ik r. Merk verder nog op dat de lijnen AP en AQ beide loodrecht op OA staan, dus loodrecht op r. Je mag ook nog opmerken dat figuur 13 perspectivisch niet geweldig getekend is door mij, maar het idee komt wel over hoop ik. Voor de tangensen van β en γ geldt:





En voor de cosinussen van β en γ geldt:





Nu laat ik de cosinusregel los op de driehoek APQ waarbij ik gebruik maak van (46) en (47):



En vervolgens doe ik hetzelfde bij de driehoek OPQ waarbij ik gebruik maak van (48) en (49):



Door de vergelijkingen (50) en (51) aan elkaar gelijk te stellen krijg ik de cosinusregel voor de middelpuntshoeken:



Ik had deze afleiding uiteraard ook kunnen doen door het raakvlak in het punt B of C te tekenen en dan had ik de volgende resultaten gekregen:





Vergelijking (52b) ga ik even iets anders opschrijven:



Vervolgens vermenigvuldig ik links en rechts met sin α:



En daar ga ik vergelijking (52a) in invullen:



Door cyclische verwisseling ontstaan uiteraard alle mogelijke varianten:











Vervolgens neem ik vergelijking (52) en die schrijf ik iets anders op:



Ik ga links en rechts kwadrateren:



Door beide leden van één af te trekken kan ik overstappen op sinussen en ik knutsel gelijk nog wat verder:



Vervolgens neem ik links en rechts de wortel:



En ik deel beide zijden door sin α:



Omdat het rechterlid α, β en γ in precies gelijke ‘hoeveelheden’ bevat kan het niet anders dan dat het rechterlid een constante is (voor een specifieke driehoek). Uiteraard kan ik ook hier weer de variabelen cyclisch verwisselen waardoor ik de sinusregel voor de boldriehoek tevoorschijn haal:



Voor de zijden a, b en c geldt:







Uitgaande van een eenheidsbol, dus r = 1, wordt dit:







Hiermee gaan de vergelijkingen (52) over in de cosinusregel voor de zijden:







Gebruik makend van de sinusregel (vergelijking (61)) kan ik ook nog het volgende opschrijven:





Dit ga ik invullen in vergelijking (52c):



Vervolgens ga ik links en rechts kwadrateren en daarna haakjes wegwerken en zo veel mogelijk termen samennemen en reorganiseren:



Tenslotte haal ik alle termen naar één kant:



Nu heb ik een tweedegraads vergelijking waaruit ik cos C wil gaan oplossen. Dat roept uiteraard om de abc-formule:



Nu heb ik twee mogelijke antwoorden, maar de plus-mogelijkheid valt af omdat cos C dan groter dan één kan worden. Het eindresultaat wat ik aldus verkregen heb is de cosinusregel voor de hoeken:



En door cyclische verwisseling krijg ik:





Schrijf maar bij op je lijstje, de rekenregels voor de boldriehoek.
De cosinusregel voor de middelpuntshoeken:







De cosinusregel voor de zijden (van een eenheidsbol, r = 1):







De cosinusregel voor de hoeken:







De sinusregel:



Overige regels:











Voor de liefhebbers: dit is de Excel file (opent in een nieuw tabblad) waarmee ik de plaatjes heb gemaakt.