Euler-Lagrange-vergelijking

Stel we hebben een functie f1 die bepaald wordt door drie variabelen x, y1 en dy1/dx:



Waarbij y1 een functie van x is, want anders zou dy1/dx gelijk aan nul zijn. Dus in essentie is x de enige variabele die de functie f1 bepaalt. Ik ga de functie f1 integreren van x1 tot x2:



Ik ga er van uit dat I1 een extreme waarde is (een minimum of een maximum), met andere woorden:



Naast de kromme die beschreven wordt door y1 (x) ligt een andere kromme y2 (x, λ):



Hierin is λ een parameter die niet afhankelijk is van x. Verder eis ik dat y1 (x) en y2 (x) voor x1 en x2 samenvallen (lees: door hetzelfde punt gaan), oftewel:





De integraal I2 voor de naastliggende kromme is:



Hier ga ik vergelijking (4) in invullen:



Aangezien I1 een extreme waarde is, is I2 dat ook voor λ = 0:



Een extreme waarde vinden we door de afgeleide te bepalen en die nul te stellen:



Dit combineer ik met vergelijking (6):



Omdat we hier te maken hebben met het product van twee functies, f2 en dx, ga ik gebruik maken van de productregel:



De variabelen x en λ zijn onafhankelijk van elkaar en daarom is de afgeleide van x naar λ (of vice versa) gelijk aan nul:



Dit ga ik vervolgens partieel differentiëren:



Omdat x en λ onafhankelijk zijn van elkaar is de eerste term gelijk aan nul:



Bovendien geldt:



Hiermee wordt vergelijking (14):



De rechterintegraal ga ik partieel integreren:



De afgeleide van y2 naar λ vind ik door vergelijking (4) te differentiëren:



En omdat de functie ξ (x) nul is bij de grenzen van de integraal (zie de vergelijkingen (5)) valt de linkerterm van het rechterlid van vergelijking (17) weg (die is nul):



Dit resultaat stop ik weer terug in vergelijking (16) en ik ga wat reorganiseren:



En nu komt de grote klapper, want ik kan nu stellen:



En zo ben ik λ helemaal kwijt en heb ik een algemene uitdrukking voor de voorwaarde die een functie moet hebben zodat de integraal I een extreme waarde is. Ik had helemaal aan het begin ook de volgende functie als uitgangspunt kunnen nemen:



Dan had vergelijking (21) er nu zo uitgezien:

Of met een kleine wijziging in notatie en reorganisatie van termen:



Bovenstaande vergelijking, de Euler-Lagrange-vergelijking, is de voorwaarde voor een functie zodat de integraal I een extreme waarde is. Omdat deze vergelijking vooral toepassing vindt in variatieproblemen en daar vaak wortels voorkomen is het tenslotte van belang om op te merken dat f probleemloos door √ f mag worden vervangen.