Differentiëren

Vaak is het heel interessant om van een wiskundige functie (een kromme) precies te weten hoe die zich ontwikkelt. Stijgt de kromme, of daalt de kromme, en in welke mate? Deze mate van stijgen of dalen heet het hellingsgetal of de richtingscoëfficiënt. Laten we eens kijken naar de grafiek van de functie f (x) = ax2:
Nu ga ik onderzoeken in welke mate deze kromme stijgt op het interval van x1 naar x2:
Als ik wil weten hoe snel deze functie stijgt op het traject van x = x1 tot x = x2, dan kan ik de functiewaarde (de y-waarde) voor x = x2 nemen en daar de functiewaarde voor x = x1 vanaf trekken. De functiewaarde voor x1 is y1 en de functiewaarde voor x2 is y2. Dus (y2 − y1) is de stijging van de functie wanneer x oploopt van x1 naar x2. Dat deze stijging van y bijvoorbeeld 10 bedraagt is op zich nog niet zo heel boeiend, maar wanneer ik dit relateer aan de verandering in x dan krijg ik wel iets zinvols. Wanneer je tegen een berg opfietst en je moet een kilometer hoogteverschil overbruggen dan zegt dat wel wat, maar als je aan het eind van de klim 50 kilometer verderop bent dan heb je toch beduidend minder zweetdruppels op je rug staan dan wanneer je aan het eind van de klim minder dan 10 kilometer van je vertrekpunt verwijderd bent. Dus als ik de stijging (y2 − y1) deel door (x2 − x1) dan weet ik de stijging van de kromme per verandering in x-waarde en dat is wat we willen weten:



Dit hellingsgetal noem ik h, x1 noem ik vanaf nu x en voor x2 schrijf ik x + ∆x:



Ik ken het functievoorschrift, y = f (x) = ax2, dus nu ga ik y uitdrukken in x:



Prachtig, we hebben nu een eenvoudige uitdrukking voor het hellingsgetal. Maar, dit hellingsgetal is wel een gemiddelde over de afstand ∆x. Indien ik het hellingsgetal wil weten in een bepaald punt, dan beschouw ik eigenlijk het limietgeval dat ∆x nul wordt. Wat houdt ons tegen? Helemaal niets!



We hebben nu een nieuwe functie die precies beschrijft voor ieder punt van de kromme wat daar de waarde van het hellingsgetal is. Deze functie noemen we de afgeleide functie, of kortweg afgeleide, van f (x) en dat geven we aan als f ' (x). Laten we ook eens de afgeleide bepalen van een derdegraads functie: f (x) = ax3:



We zijn zo lekker bezig, dan doen we de afleiding ook nog even voor een vierdegraads functie: f (x) = ax4:



Misschien zie je al een bepaalde regelmaat ontstaan. In zijn algemeenheid geldt: de afgeleide van axn is anxn − 1. Als je het principe van het bepalen van de afgeleide kent dan is het alle volgende keren gewoon standaardregeltjes uitvoeren. Het bepalen van de afgeleide van een functie noemen we differentiëren. Een beetje wis- of natuurkundige doet dit dagelijks, maar hij/zij voert niet telkens de afleiding opnieuw uit maar maakt gebruik van tabellen met standaardafgeleiden (de standaardregeltjes). Dit is de tabel met alle standaardafgeleiden.

Het kan gebeuren dat f (x) samengesteld is uit twee functies g (x) en h (x). Stel dat de functie f (x) het product is van deze functies. De afgeleide wordt dan bepaald met behulp van de productregel:





Voorbeeld:





Of de functie f (x) is het quotiënt van g (x) en h (x). Je voelt het al aankomen, daarvoor hebben we de quotiëntregel:





Voorbeeld:





En het kan nog iets ingewikkelder wanneer g een functie van h is: f (x) = g (h (x)). Dit soort functies differentiëren we met behulp van de kettingregel:





Voorbeeld:





Ik zal deze laatste drie regels even beknopt samenvatten.

Productregel:





Quotiëntregel:





Kettingregel:





Hierboven gebruikte ik de letter ∆ (delta) om het verschil tussen x1 en x2 mee aan te geven. In zijn algemeenheid wordt ∆ gebruikt om kleine verschillen mee aan te geven. Dit heet een differentie. Het hellingsgetal h kan ik daarom ook schrijven als differentiequotiënt:



Wanneer ik vervolgens ∆ naar nul laat naderen, ik neem de limiet van ∆ → 0, dan wordt ∆ infinitesimaal klein. Dit infinitesimaal geven we aan met een d. We spreken dan ook niet meer over differentie maar over differentiaal. Logisch gevolg: het hellingsgetal h kan ik ook schrijven als differentiaalquotiënt, en dat is tevens de afgeleide:



Ik heb op deze manier gedifferentieerd naar x (ik beschouwde de verandering van f (x) als gevolg van een verandering in x). Maar er kan natuurlijk ook sprake zijn van een functie die afhankelijk is van meerdere variabelen, bijvoorbeeld:



Ik kan er nu voor kiezen om te differentiëren naar x of y of z. Wanneer ik differentieer naar de ene variabele (bijvoorbeeld x) dan zijn de andere variabelen op dat moment constant (de y en de z). Differentiëren naar een bepaalde variabele terwijl er meerdere variabelen zijn heet partieel differentiëren en wordt aangegeven met een ∂. De functie die op deze manier ontstaat heet de partiële afgeleide:







Met al deze regels tot onze beschikking is er echter toch nog een soort functie die een hele andere aanpak vereist: f (x) = g (x)h (x). De methode die in dit soort gevallen redding brengt heet logaritmisch differentiëren. Stel we hebben de volgende functie:



De afgeleide hiervan is:



En dat kan ik ook schrijven als:



En what’s in a name? In plaats van x kan ik natuurlijk ook y schrijven:



En wanneer we dit tenslotte combineren met het oorspronkelijke differentieerprobleem van de functie f (x) = g (x)h (x) dan ontstaat:



Hetgeen ik compact kan opschrijven als:



Voorbeeld:





Dit complementeert ons kwartet hulpregels om te kunnen differentiëren:
Functie Afgeleide functie
Productregel
Quotiëntregel
Kettingregel
Logaritmisch differentiëren
Tabel: hulpregels voor het differentiëren
Verder wil ik nog opmerken dat we het hier telkens gehad hebben over de eerste afgeleide van een functie. Ik kan natuurlijk van die afgeleide ook weer de afgeleide nemen en dat heet dan de tweede afgeleide. En zo kan ik doorgaan naar de derde, vierde, enzovoort. De notatie daarvan is als volgt:









Verwar dit niet met het machtsverheffen van afgeleiden:







Tenslotte wil ik het volgende nog onder de aandacht brengen:



Dit kan heel handig zijn als je wilt overstappen naar een andere variabele.

Uiteindelijk is er van iedere functie de afgeleide te bepalen: