Wiskunde, vraagstukken vectoren

Vraagstuk 1:

We beschouwen een tweedimensionale ruimte. Welke meetkundige figuren worden beschreven door:







Vraagstuk 2:

We beschouwen een driedimensionale ruimte. Geef bij de volgende uitdrukkingen aan of ze getallen of vectoren voorstellen, dan wel geen betekenis hebben:










Vraagstuk 3:

Bepaal een vergelijking voor het vlak met parametervoorstelling:





Vraagstuk 4:

Bepaal een parametervoorstelling van het vlak V gegeven door:





Vraagstuk 5:

Bepaal afstand en hoek tussen de vectoren v en w waarbij:








Vraagstuk 6:
  1. Bepaal de oppervlakte van de driehoek met als hoekpunten:







  2. Bepaal de inhoud van:



Vraagstuk 7:

Gevraagd de poolcoördinaten-functie f zodat de grafiek



een cirkel met straal 1 is.



Vraagstuk 8:

Gegeven de punten:







V is het vlak door deze drie punten.
  1. Bepaal een parametervoorstelling van V.
  2. Bepaal een vergelijking voor V.


Vraagstuk 9:
  1. Gegeven de vectoren:





    Ga na of de volgende punten op het lijnsegment pq liggen:







  2. Laat zien dat de volgende punten op één lijn liggen.







Vraagstuk 10:

Laat zien dat de volgende vier punten in hetzelfde vlak liggen:











Vraagstuk 11:

Gegeven de vectoren:





Gebruik het inwendig product om te laten zien dat:





Vraagstuk 12:

Bepaal de projectie ab van a op b en de projectie ba van b op a in de volgende gevallen:










Vraagstuk 13:

Gegeven de vector n:



En deze twee punten:





P1 is het vlak door a en loodrecht op n en P2 is het vlak door het punt b en evenwijdig aan P1.
  1. Bepaal de vergelijking van het vlak P1.
  2. Bereken de (loodrechte) afstand tussen de vlakken P1 en P2.


Vraagstuk 14:

Gegeven de vectoren:









De lijnen k en m hebben respectievelijk parametervoorstellingen:



  1. Laat zien dat de twee lijnen elkaar niet snijden.
  2. Bepaal parametervoorstellingen van twee onderling evenwijdige vlakken V en W, zo dat k V en m W.
  3. Bereken de (loodrechte) afstand tussen V en W (dat is de kortste afstand tussen k en m).


Vraagstuk 15:

Twee vlakken zijn gegeven door de parametervoorstellingen:



  1. Laat zien dat V en W evenwijdig zijn.
  2. Bereken de afstand tussen V en W.


Vraagstuk 16:

Bepaal een parametervoorstelling van de snijlijn van de vlakken met parametervoorstellingen:







Vraagstuk 17:

Gegeven het vlak V met parametervoorstelling:



En de vectoren:





  1. Bereken een normaalvector op V.
  2. Bereken de loodrechte afstand van V tot de oorsprong.
  3. Bepaal een (andere) parametervoorstelling van V, waarbij de steunvector en de beide richtingsvectoren alle drie onderling loodrecht zijn.


Vraagstuk 18:

Bepaal alle vectoren u die een hoek van π/3 of 2π/3 maken met v door één vergelijking te geven in de componenten van u:







Vraagstuk 19:

Gebruik de determinant om een waarde α te bepalen, zodat de drie vectoren (geïnterpreteerd als gerichte lijnstukken)







in één vlak liggen.



Vraagstuk 20:

Hoe kan men een punt op een boloppervlak (straal R) weergeven in cilindercoördinaten?



Vraagstuk 21:

Bepaal ∂f/∂x en ∂f/∂y in de volgende gevallen:









Vraagstuk 22:

Bepaal het raakvlak aan de grafiek van f in het punt A (0, 0, 1). Hierin is f de functie:





Vraagstuk 23:

Bereken de volgende herhaalde integralen:






Vraagstuk 24:

Bereken de volgende integraal:



Doe dit met behulp van poolcoördinaten. Voor G geldt:





Vraagstuk 25:

Bereken de volgende herhaalde integraal:





Vraagstuk 26:

Bereken G (1, 1, 1) als:






Vraagstuk 27:

De functie f is gegeven door:



Geef de lineaire benadering van f in:





Vraagstuk 28:

Bij een lens wordt het verband tussen voorwerpsafstand v en beeldafstand b gegeven door de formule:



Hierin is f een bij de lens behorende constante (de brandpuntsafstand). Geef een lineaire benadering van de fout ∆f die men bij benadering maakt tengevolge van een meetfout ∆v in de voorwerpsafstand en een meetfout ∆b in de beeldafstand.



Vraagstuk 29:

Verwissel de integratievolgorde:









Vraagstuk 30:

Bereken de volgende dubbele integraal:



Hierin is G het gebied dat wordt ingesloten door de kromme y = sin x en het interval [0, π] op de x-as.



Vraagstuk 31:

Bereken de volgende dubbele integraal:



Hierin is G:





Vraagstuk 32:

Laat G het begrensde gebied zijn in het eerste kwadrant dat wordt ingesloten door:



Bereken de volgende dubbele integraal:





Vraagstuk 33:

Gegeven het scalarveld G(r) = | r | (waarin met r de plaatsvector (x, y, z) is bedoeld). Laat zien dat (voor alle r0):





Vraagstuk 34:

Gegeven het scalarveld G en het punt a:



  1. Bereken:



    Als:



  2. Wat is vanuit a de richting van de ‘grootste toename’ van G?
  3. In welke richting is:



Vraagstuk 35:

Gegeven is het scalarveld:



Bereken de richtingsafgeleide van G in a in de richting van a naar b, waarbij:







Vraagstuk 36:

Bereken de volgende herhaalde integraal:





Vraagstuk 37:

Bereken:



Als gegeven is dat:







Vraagstuk 38:

Bereken:



Waarbij:





Vraagstuk 39:

Bereken de volgende integralen. Maak eerst een schets van G en kies geschikte coördinaten.



  1. Waarbij:






  2. Waarbij:



Vraagstuk 40:

G is het gebied dat wordt ingesloten door het omwentelingsoppervlak waarvan de afstand tot de z-as gegeven wordt door:

  1. Bereken de inhoud van G.
  2. Bereken:

  3. Bereken:



Vraagstuk 41:

Gegeven G:

  1. Maak een schets van G.
  2. Teken een lijn door de oorsprong die een hoek θ met de positieve x-as maakt. Druk de afstand tot de oorsprong van het snijpunt van deze lijn met de parabool y2 = 4 − 4x uit in θ.
  3. Bereken de volgende integraal door over te gaan op poolcoördinaten:



Vraagstuk 42:

Gegeven D:

  1. Maak een schets van D.
  2. Schrijf de volgende integraal als herhaalde integraal:



Vraagstuk 43:

Bereken het uitwendig product:



Waarbij:





Controleer of inderdaad w loodrecht op a staat en w loodrecht op b staat.



Vraagstuk 44:

Bepaal de oppervlakte van de driehoek met als hoekpunten:









Vraagstuk 45:

Gegeven is het scalarveld G door:



Gegeven zijn ook de punten:





N is het niveau-oppervlak van G door het punt a.
  1. Bepaal de volgende richtingsafgeleide waarbij v de richting van punt a naar punt b is:

  2. Bepaal een normaalvector in het punt a op het niveau-oppervlak N.
  3. Bepaal een parametervoorstelling van het raakvlak aan N in het punt a.


Vraagstuk 46:

Teken de volgende krommen en beschrijf deze krommen meetkundig:






Vraagstuk 47:

Gegeven de continu differentieerbare functie f. Zij K de grafiek van f.
  1. Ga na dat dit een parametrisering van K is:

  2. Bereken de booglengte van K.


Vraagstuk 48:

Geef een parametrisering van een rechte cilinder met de z-as als cilinder-as, straal = a, hoogte = c en de onderkant in het x-y-vlak.



Vraagstuk 49:

Gegeven het vlak V door de steunvector p en de richtingsvectoren u en v:





  1. Bepaal een parametrisering van V.
  2. Bepaal de eenheidsnormaal op alle punten van V.


Vraagstuk 50:

Gegeven de functie f:



Bepaal een parametervoorstelling van het raakvlak aan de grafiek van f in het punt:





Vraagstuk 51:

Is dit waar:





Vraagstuk 52:

Ga na van de volgende krommen waarom ze niet regulier zijn:






Vraagstuk 53:

De (vlakke) kromme C is de grafiek van de functie:



(ook wel bekend als kettinglijn)
  1. Geef een parametervoorstelling van C.
  2. Bereken de booglengte van C voor t van 0 naar x.


Vraagstuk 54:

Een astroïde is een kromme met parametrisering:



Waarbij a > 0 een constante is.
  1. Maak een tekening van een astroïde.
  2. Ga na in welke punten de astroïde niet regulier is.
  3. Bereken de booglengte voor het gedeelte waarvoor:



Vraagstuk 55:

Involute van een cirkel.

Er wordt een rol verbandgaas (met straal a) afgewikkeld. De rol kan niet draaien en het afgewikkelde deel wordt strak gehouden waardoor het uiteinde een spiraalvormige kromme beschrijft. De dikte van het verband is verwaarloosbaar, zodat a als constante mag worden beschouwd. Veronderstel tenslotte dat het verband niet ‘plakt’, dus dat het ideaal van de rol afwikkelt.
  1. Maak een parametervoorstelling r (θ) voor de kromme die door het uiteinde P wordt beschreven.
  2. Bereken de booglengtefunctie s (θ) van de kromme.


Vraagstuk 56:

Gegeven de ruimtekromme C met parametrisering:

  1. Laat zien dat elk punt van de kromme op een kegel ligt waarvan de top zich in de oorsprong bevindt.
  2. Interpreteer t als de tijd, en bereken de grootte van de snelheid van een punt dat volgens r (t) langs de baan C beweegt.
  3. In welke richting verlaat de kromme de oorsprong (in t = 0)?
  4. Bepaal de lengte van C als functie van t (laat eventueel een integraal in het antwoord staan).


Vraagstuk 57:

Gegeven de punten:







T is de driehoek met a, b en c als hoekpunten. Met T wordt dus niet het gehele vlak door a, b en c bedoeld, maar uitsluitend het deel daarvan dat door de lijnstukken ab, bc en ca wordt begrensd.
  1. Bepaal een parametrisering van T.
  2. Bereken de oppervlakte van T door “het uitwendig product van de partiële afgeleiden te integreren”.
  3. Bereken de oppervlakte van T middels “het uitwendig product van de richtingsvectoren”.


Vraagstuk 58:

Het oppervlak S is de grafiek van de functie f gegeven door:



Waarbij:



  1. Geef een parametrisering van S.
  2. Bepaal in ieder punt van S de naar boven gerichte eenheidsnormaal n op S.


Vraagstuk 59:

Gegeven de functie f (die G afbeeldt):



Waarbij G een cirkelschijf met straal a > 0 en de oorsprong als middelpunt is.
  1. Maak een parametrisering van S.
  2. Bereken de oppervlakte van S.


Vraagstuk 60:

Teken de grafieken van de in poolcoördinaten gegeven functies:









Vraagstuk 61:

Onderzoek van de grafiek van een functie van twee variabelen.

Schets de snijfiguren van de grafiek van de functie:



Neem de snijfiguren met vlakken evenwijdig aan respectievelijk het y-z-vlak (dat wil zeggen x = constant), het x-z-vlak (dat wil zeggen y = constant) en het x-y-vlak (dat wil zeggen z = constant). Neem voor de constante steeds −1, 0 en 1.



Vraagstuk 62:

Deel het in de figuur hieronder getekende normale gebied op in elementaire gebieden door ze in het plaatje te tekenen. Omschrijf deze elementaire gebieden met behulp van (on)gelijkheden.





Vraagstuk 63:

Maak een tekening van de volgende tweedimensionale vectorvelden:









Vraagstuk 64:

Schrijf de locale ‘polaire’ eenheidsvectoren er en eθ in Cartesische coördinaten. Het antwoord moet uiteraard afhankelijk zijn van de plaats (r, θ) waar de locale coördinaten zijn getekend, dus van de vorm:



En voor eθ iets dergelijks:





Vraagstuk 65:

Gegeven de kromme k met parametrisering:



En het vectorveld:

  1. Bepaal de waarde van het veld op k als functie van t.
  2. Vul in:



  3. Bereken:



Vraagstuk 66:

Het oppervlak S is de grafiek van de functie:



Het vectorveld v is gegeven door:

  1. Geef een parametrisering van S.
  2. Bereken een naar boven gerichte normaal op S (hoeft niet genormeerd te worden).
  3. Bereken de volgende integraal, waarbij A is georiënteerd volgens de naar boven gerichte normaal:



Vraagstuk 67:

Gegeven het vectorveld:



Verder is gegeven een rechte cilinder met straal 1 en de z-as als as, inclusief de bodem op hoogte z = −1 en deksel op hoogte z = 1.
  1. Bereken v (in Cartesische coördinaten).
  2. Gebruik dit antwoord om v in cilindercoördinaten te schrijven.
  3. Bereken de volgende integraal met behulp van de stelling van Gauss:



Vraagstuk 68:

Gegeven (in Cartesische coördinaten) het vectorveld:

  1. Bereken F.
  2. Bereken × F.


Vraagstuk 69:

Bereken F, met F in bolcoördinaten gegeven als:









Vraagstuk 70:

Bereken:



Van de volgende vectorvelden:






Vraagstuk 71:

Bereken:



Van de volgende (in poolcoördinaten gegeven) vectorvelden:






Vraagstuk 72:

De stroomlijnen of veldlijnen van een vectorveld zijn de banen die door een deeltje worden gevolgd als het snelheidsveld het gegeven vectorveld is. Dat betekent dus dat de vectoren in een vectorveld raken aan de veldlijnen. We bekijken nu het (tweedimensionale) vectorveld:

  1. Gebruik de tekening van het vectorveld om een paar veldlijnen te tekenen. Hoe zouden de vergelijkingen van de veldlijnen er uit kunnen zien?
  2. Laat een veldlijn een parametervoorstelling hebben van de vorm:



    Leg uit dat de coördinaatfuncties x (t) en y (t) van een veldlijn oplossingen zijn van de differentiaalvergelijkingen:





  3. Vind een parametervoorstelling en de vergelijking van de veldlijn door het punt (1, 1).


Vraagstuk 73:

Gegeven het vectorveld:



Maak een tekening van het veld en enkele veldlijnen daarin. Bepaal de parametervoorstelling van de veldlijn door het punt (x0, y0).



Vraagstuk 74:

Veldlijnen van een in poolcoördinaten gegeven vectorveld.

Bekijk het vectorveld:



Noem de parametervoorstelling van een veldlijn:

  1. Laat zien dat de coördinaatfuncties van een veldlijn oplossingen zijn van het stelsel differentiaalvergelijkingen:





  2. Bepaal de parametervoorstelling (in poolcoördinaten) van de veldlijn door het punt (1, 0) van het vectorveld:



  3. Bepaal voor de gevonden veldlijn r als functie van θ, zodat de veldlijn getekend kan worden.


Vraagstuk 75:

Gegeven het scalarveld (in Cartesische coördinaten):



Maak een tekening van het gradiëntveld G van G.



Vraagstuk 76:

Gegeven het vectorveld:



Bereken:



Waarbij de kromme k het beginpunt (0, 0, 0) en eindpunt (1, 1, 1) heeft. Hierbij wordt k gegeven door:
  1. Het lijnstuk rechtstreeks vanaf (0, 0, 0) naar (1, 1, 1).
  2. De rechte lijnstukken vanaf (0, 0, 0) via (0, 1, 0) en (0, 1, 1) naar (1, 1, 1).
  3. De rechte lijnstukken vanaf (0, 0, 0) via (1, 0, 0) en (1, 1, 0) naar (1, 1, 1).
  4. De kromme met parametrisering:



  5. De kromme met parametrisering:



Vraagstuk 77:

Gegeven het scalarveld:



Bereken:



Waarbij de kromme k het beginpunt (0, 0, 0) en eindpunt (1, 1, 1) heeft. Voor het vectorveld geldt:



Hierbij wordt k gegeven door:
  1. Het lijnstuk rechtstreeks vanaf (0, 0, 0) naar (1, 1, 1).
  2. De rechte lijnstukken vanaf (0, 0, 0) via (0, 1, 0) en (0, 1, 1) naar (1, 1, 1).
  3. De rechte lijnstukken vanaf (0, 0, 0) via (1, 0, 0) en (1, 1, 0) naar (1, 1, 1).
  4. De kromme met parametrisering:



  5. De kromme met parametrisering:



Vraagstuk 78:

Onderzoek van de volgende vectorvelden of ze conservatief zijn door na te gaan of er een potentiaalfunctie is:






Vraagstuk 79:

Bereken de volgende integraal:



Waarbij T de driehoek is met hoekpunten:







Deze driehoek heeft een naar boven gerichte eenheidsnormaal en het vectorveld v is:





Vraagstuk 80:

Bereken de volgende integraal:



Als het vectorveld is:



En S is het oppervlak met de vergelijking:



Met (x, y) binnen de eenheidscirkel met de oorsprong als middelpunt. S is georiënteerd volgens de naar buiten/beneden gerichte normaal.



Vraagstuk 81:

Gegeven het vectorveld:



Bereken de naar buiten gerichte flux van v door de wand van de rechte cilinder met straal 1 en de z-as als as, inclusief de bodem op hoogte z = −1 en deksel op hoogte z = 1.
  1. Rechtstreeks, dat wil zeggen door drie afzonderlijke flux-integralen te berekenen.
  2. Met de stelling van Gauss.


Vraagstuk 82:

Gegeven het vectorveld:



Het oppervlak S is de wand (mantel en bodem) van een omgekeerde kegel met de top in de oorsprong waarvan de bodem een cirkelschijf met straal 4 is op hoogte z = 4. Bereken de naar buiten gerichte flux van v door S.



Vraagstuk 83:

Maak recepten voor het oplossen van de volgende typen vraagstukken:
  1. Gevraagd:



    Waarbij H gegeven is als H = { ... }. Teken een willekeurig gebied H en ga na wat u van H moet weten om een herhaalde integraal op te stellen; hoe kiest u de integratievolgorde?
  2. Verwissel de integratievolgorde van:



    Teken de grafieken van twee willekeurige functies φ1 (x) en φ2 (x), met x ϵ [a, b]; in welke gevallen moet het gebied worden gesplitst om de integratievolgorde te kunnen verwisselen?


Vraagstuk 84:

S is het oppervlak van de eenheidsbol met straal 1 en de oorsprong als middelpunt. Het vectorveld w is gegeven door:



Bereken:

  1. Rechtstreeks.
  2. Met behulp van de stelling van Gauss.


Vraagstuk 85:

Bereken:



Waarbij het vectorveld F gegeven is door:



S is het oppervlak van het gebied G dat begrensd wordt door de parabolische cilinder:



En verder wordt G begrensd door de vlakken:









Vraagstuk 86:

Gegeven is het vectorveld (in Cartesische coördinaten):



De kromme c is de driehoek met hoekpunten ex, ey en ez, georiënteerd volgens de wijzers van de klok als men c vanuit het punt (1, 1, 1) bekijkt.

Bereken:

  1. Rechtstreeks.
  2. Met de stelling van Stokes.


Vraagstuk 87:

Het oppervlak S is het deel van het boloppervlak waarvoor geldt:



S is georiënteerd volgens de naar de oorsprong gerichte normaal.

Bereken:



Als:







Alle velden zijn in Cartesische coördinaten gegeven.



Vraagstuk 88:

Het oppervlak S wordt gegeven door:



De normaal van S is naar boven gericht. Het vectorveld F wordt gegeven door:



Bereken:

  1. Rechtstreeks.
  2. Door eerst de flux door een cirkelschijf in het x-y-vlak te berekenen en dan gebruik te maken van de stelling van Gauss.
  3. Uit het hoofd.


Vraagstuk 89:

Bereken met behulp van de stelling van Stokes:



Het vectorveld F wordt gegeven door:



De kromme c is de snijkromme van de cilinder C en het vlak V:







Vraagstuk 90:

S is het oppervlak van een halve bol (z ≥ 0) met straal a. Geef een parametrisering van S:
  1. In Cartesische coördinaten.
  2. In bolcoördinaten.
  3. In cilindercoördinaten.


Vraagstuk 91:

Door een bol met straal a is een cilindervormig gat geboord met straal b (b < a) waardoor een ringvormig object ontstaat.
  1. Bereken de inhoud van de ring.
  2. Bereken de oppervlakte van het overgebleven deel van het boloppervlak.


Vraagstuk 92:

S is het oppervlak (alleen de mantel) van een kegel met de ‘top’ in de oorsprong. De rand van het oppervlak is een horizontale cirkel op hoogte z = 3, middelpunt op de z-as en straal √3.
  1. Geef een parametrisering van S in Cartesische coördinaten, waarbij u als parameters moet gebruiken:
    1. De afstand tot de oorsprong en de hoek met de positieve x-as (zoals bij bolcoördinaten).
    2. De afstand tot de z-as en de hoek met de positieve x-as (zoals bij cilindercoördinaten).
    3. De x- en de y-coördinaat.
  2. Geef een parametrisering van S in bolcoördinaten.
  3. Geef een parametrisering van S in cilindercoördinaten.


Vraagstuk 93:

Gegeven de functie:



Deze functie is gedefinieerd op de kwart cirkelschijf:



Het oppervlak S is de grafiek van f. Tenslotte definiëren we het vectorveld v:

  1. Maak een parametrisering van S.
  2. Bereken de oppervlakte van S.
  3. Bereken de flux-integraal:



    De oriëntatie van S is naar boven gericht.


Vraagstuk 94:

Gegeven het vectorveld:

  1. Ga na voor welke waarden van a en b het vectorveld conservatief is.
  2. Bepaal voor de gevonden waarden een scalaire potentiaalfunctie U (x, y, z).
  3. Bereken:



    Hierin is k de kromme met parametrisering:



  4. Kan deze integraal ook worden berekend zonder gebruik te maken van de potentiaalfunctie?


Vraagstuk 95:

Gegeven het vectorveld:



En het rechthoekige blok B:



Het oppervlak van B geven we aan met ∂B en So is het ondervlak van B met naar beneden wijzende normaal.
  1. Bereken:



    Doe dit rechtstreeks en met de stelling van Stokes.
  2. Zonder berekening kan de volgende integraal worden bepaald:



    Doe dat en motiveer het antwoord.
  3. Bereken:



    Doe dit rechtstreeks en met de stelling van Gauss.