Astronomie, vraagstuk 14

Hoe reken je een lichtjaar om naar parsecs en vice versa?
Tsja, Amerikanen doen de dingen vaak net wat anders en dat is ook met astronomische afstanden. Wij, Europeanen, drukken astronomische afstanden doorgaans uit in lichtjaren en Amerikanen doen dat doorgaans in parsecs.

Een lichtjaar is de afstand die het licht aflegt in één jaar in vacuüm. En het heelal is gemiddeld dermate leeg dat we gerust over een vacuüm mogen spreken. Een jaar heeft in deze context per definitie 365.25 dagen (zoals ooit vastgelegd door Julius Caesar, daarom noemen we dit een Juliaans jaar), dit is een fractie meer dan een werkelijk jaar. Dat allemaal gezegd hebbende kunnen we vervolgens het aantal seconden in een Juliaans jaar uitrekenen:

1 jaar = 365.25 × 24 × 60 × 60 = 31.557.600 seconden

De snelheid van het licht is per definitie 299.792.458 m/s zodat het licht in één Juliaans jaar 9.460.730.472.580.800 meter aflegt en dat is dus de eenheid lichtjaar. Afgerond spreken we doorgaans over 9.500.000.000.000.000 meter = 9.500.000.000.000 kilometer = 9.5 biljoen kilometer.

En dan de parsec. Op het plaatje hiernaast is te zien hoe een parsec wordt bepaald (waarschijnlijk ten overvloede: het plaatje is niet op schaal getekend). De Aarde draait om de Zon op een gemiddelde afstand van per definitie één Astronomische Eenheid. Het groene bolletje is een ver verwijderde ster en indien wij die waarnemen onder een hoek van één boogseconde, terwijl de ster zich loodrecht boven de Zon en het eclipticavlak bevindt, dan is de afstand tot die ster één parsec. Strikt genomen is dat de loodrechte afstand tot het eclipticavlak, en niet de afstand tot de Aarde, maar dat verschil is absoluut te verwaarlozen.

In wiskundige termen geldt aldus dat de tangens van die ene boogseconde gelijk is aan één Astronomische Eenheid gedeeld door één parsec:



Ik maak gebruik van de volgende limietovergang:



Waarmee ik (1) kan schrijven als volgt:



Een volledige cirkel van 360 graden komt overeen met 2π radialen, dus één graad komt overeen met 2π/360 radialen en één boogseconde is daar nog weer het 3600e deel van:



En dit stop ik in vergelijking (3):



De Astronomische Eenheid is vastgelegd als zijnde per definitie gelijk aan 149.597.870.700 meter. Hiermee wordt (5):



Waarna een rekenmachine ons vertelt dat één parsec gelijk is aan 3.08567758 ∙ 1016 meter.

Hiervoor vermeldde ik al dat een parsec de loodrechte afstand is tot het eclipticavlak, maar dat dat in de praktijk niet zo nauw komt. Met behulp van de stelling van Pythagoras kan ik de exacte afstand uitrekenen van de ster tot de Aarde (uitgaande van een ster op een afstand van één parsec), waarbij ik gebruik maak van vergelijking (5):



Dit geeft een afwijking van één bij het elfde cijfer achter de komma! Wanneer we dan ook nog bedenken dat er zich binnen een afstand van één parsec helemaal geen andere sterren bevinden moge het duidelijk zijn dat het helemaal niet relevant is of de verre ster zich loodrecht boven de Zon en het eclipticavlak bevindt.

Nu ga ik nog even de beginvraag beantwoorden: hoe reken je lichtjaren om naar parsecs en vice versa? Dat is een kwestie van de hierboven berekende afstanden op elkaar delen:

3.08567758 ∙ 1016 / 9.460.730.472.580.800 = 3.262

9.460.730.472.580.800 / 3.08567758 ∙ 1016 = 0.307

Kortom, één parsec is 3.262 lichtjaren en één lichtjaar is 0.307 parsecs.

Tenslotte wil ik nog opmerken dat astronomische afstanden in de categorie grootheden vallen die we het onnauwkeurigst kunnen meten. Voor ‘redelijk nabije’ sterren gaat het nog wel, maar voor een ster aan de andere kant van de Melkweg zijn we al heel blij als we dat op twee decimalen nauwkeurig te weten kunnen komen. Daarnaast is het zo dat sterrenstelsels afmetingen hebben van duizenden lichtjaren, dus een afstandsbepaling tot op een lichtjaar nauwkeurig is dan volkomen betekenisloos.