Astronomie, vraagstuk 11

Bereken de periheliumprecessie van de planeet Mercurius als gevolg van de afplatting van de Zon.

(Credits: NASA)

Roterende hemellichamen vervormen onder invloed van die rotatie. En hoe sneller ze roteren, hoe groter die vervorming uiteraard is. Echter, niet alleen het hemellichaam vervormt, maar ook het zwaartekrachtveld van dat hemellichaam. Dat vervormde zwaartekrachtveld heeft op zijn beurt weer een afwijkende invloed op andere hemellichamen en andere objecten die zich ‘in de buurt’ ophouden. Ook de Zon is lichtelijk afgeplat, dat noemen we heel netjes een oblate sferoïde, en de vraag die we hier gaan beantwoorden is in hoeverre dat voor periheliumprecessie zorgt bij de planeet Mercurius.

Ik maak gebruik van de vergelijkingen die ik heb afgeleid op de pagina’s hemelmechanica en seculaire verstoringen (ik ga hierna ook refereren aan deze pagina’s).

Om te beginnen grijp ik terug op vergelijking (36) van de pagina seculaire verstoringen, want dat is de vergelijking die aangeeft hoe je de periheliumprecessie moet berekenen en daarom tevens mijn startpunt:



Hierin geldt voor p (vergelijking (57) van de pagina hemelmechanica):



En voor k' geldt (vergelijking (20) van de pagina seculaire verstoringen):



De vergelijkingen (7) van de pagina seculaire verstoringen zijn de componenten van de verstorende kracht in het x*-y*-z*-stelsel als functie van de componenten van de verstorende kracht in het x-y-z-stelsel (in de kracht in de z*-richting zijn we niet geïnteresseerd omdat die geen invloed heeft op de periheliumprecessie, zie vergelijking (1)):





De componenten van de verstorende kracht in het x-y-z stelsel zijn de componenten van het zwaartekrachtveld van een afgeplatte ster zoals ik die in het vorige vraagstuk heb uitgerekend (de vergelijkingen (52) van die pagina):







Om de notatie kloppend te maken met dit vraagstuk verander ik Fz in Fv, m1 in m0, m2 in m1, a in a0, e in e0 en R in r:





Vervolgens stop ik de vergelijkingen (6) in de vergelijkingen (4):





En dit resultaat stop ik in vergelijking (1):



Om van de integratievariabele t over te stappen naar θ maak ik gebruik van vergelijking (91) van de pagina hemelmechanica:



Met behulp hiervan ga ik vervolgens integreren en middelen over één omloop van de planeet:



Ik heb nu drie aparte integralen die ik moet oplossen. De eerste integraal is simpel:



De vergelijkingen (5) geven de zwaartekracht van een afgeplatte ster. Van het deel tussen haken is de linkerterm, de één, de ‘normale’ zwaartekracht en de rechterterm de afwijking daarop. De vergelijkingen (6) zijn de componenten van de verstorende kracht en daarin had ik dus de enen gelijk weg kunnen laten, maar ik dacht “laat ik die termen eens meenemen”. Het zijn deze termen die uiteindelijk geleid hebben tot bovenstaande integraal en daar komt dan uiteindelijk nul uit, precies volgens de verwachtingen. Dit resultaat ga ik alvast verwerken in vergelijking (10):



Bij het oplossen van de tweede integraal maak ik gebruik van vergelijking (58) van de pagina hemelmechanica:



En met behulp van de tabel met standaardintegralen kom ik zo tot een oplossing van de tweede integraal:



Dit resultaat verwerk ik in vergelijking (12):



Bij het oplossen van de derde en laatste integraal dien ik te bedenken dat voor z geldt (wanneer ik de x-as zo kies dat die samenvalt met de knopenlijn):



De integraal krijgt dan deze vorm:



Om verder te komen heb ik één van de som-/verschilformules nodig uit de goniometrie:



Daarmee kan ik de integraal omschrijven als volgt:



Nu heb ik negen integralen die ik even allemaal apart neem:



















Hiermee wordt (19):



En hiermee wordt (15):



Nu ga ik nog even knutselen met die breuk met al die constanten:



En zo vinden we de periheliumprecessie in radialen per seconde, want in vergelijking (9) ben ik gaan integreren én middelen over één omloop van de planeet. Omdat periheliumprecessie doorgaans gegeven wordt in boogseconden per eeuw, moet ik nog van radialen naar graden (vermenigvuldigen met 180/π), van graden naar boogseconden (vermenigvuldigen met 3600) en per seconde moet per eeuw worden (vermenigvuldigen met 3600 × 24 × 365.25 × 100).

(Credits: NASA)

Wanneer we de gegevens van de Zon en Mercurius opzoeken kunnen we echt gaan rekenen. Het essentiële probleem hierbij is: wat is de afplatting van de Zon? Het is al extreem moeilijk om de diameter van de Zon te bepalen binnen duizend kilometer nauwkeurig, want de Zon is immers een gigantische kolkende massa waar continu enorme vlammen uitschieten, en om dan ook nog het verschil te meten tussen de diameter bij de evenaar en de diameter bij de polen is simpelweg onmogelijk. Daarom probeert men via indirecte methoden de afplatting van de Zon te bepalen en dat is geen sinecure en het laatste woord daarover lijkt nog lang niet gezegd. Zoals de zaken er nu voor staan lijkt de Zon extreem rond te zijn en is de polaire diameter hooguit tien kilometer minder dan de equatoriale diameter. Dit betekent dat de periheliumprecessie volgens vergelijking (23) grootte-orde 500 milliboogseconden per eeuw bedraagt.

Een milliboogseconde per eeuw is voor Mercurius ruim minder dan een meter per omloop (ter info: de totale baan van Mercurius heeft een lengte van ongeveer 360 miljard meter). Hoe het ook zij, per omloop precesseert Mercurius ruimschoots minder dan één kilometer. Wanneer we dan ook nog bedenken dat Mercurius zelf ook niet perfect rond is moge het duidelijk zijn dat deze periheliumprecessie wel heel leuk is om een keer uit te rekenen, maar de meetbaarheid is een heel ander verhaal.

Het precessiegetal dat op internet rondwaart is 25 milliboogseconden per eeuw. Ook in dit geval is het helaas een vicieuze cirkel van citeren en geciteerd worden en de bron van dat getal heb ik niet kunnen vinden (Wikipedia vermeldt eveneens 25 milliboogseconden per eeuw en evenmin een bron). De ruwweg 500 milliboogseconden per eeuw, die ik hier heb uitgerekend, zouden geduid kunnen worden als een bovengrens. Wat mij wel duidelijk is geworden is dat er her en der coëfficiënten ingebracht worden die compenseren voor bijvoorbeeld het niet homogeen zijn van de Zon (de vergelijkingen (5) heb ik afgeleid onder de aanname van homogeniteit, terwijl het natuurlijk evident is dat de dichtheid in de kern van de Zon groter is dan in de buitenste lagen). Door het traagheidsmoment van de Zon (2/5 ma2, dit gaat uit van een homogene Zon) uit te rekenen krijg ik een waarde die bijna tienmaal zo hoog is als in de literatuur. Alleen al op basis hiervan ligt het voor de hand dat mijn antwoord van 500 milliboogseconden per eeuw met een factor tien naar beneden bijgesteld moet worden.

Kortom, planetaire periheliumprecessie als gevolg van de afplatting van de Zon is boeiend als wiskundige exercitie, maar bevindt zich in de praktijk volledig in het schemergebied van wat we überhaupt zouden kunnen meten en wat we weten over het binnenste van de Zon. In ieder geval is duidelijk dat deze precessiecomponent minstens honderd tot duizend maal zo klein is als de relativistische precessiecomponent van 43 boogseconden per eeuw zoals Einstein die honderd jaar geleden ontdekte.