Astronomie, vraagstuk 10

Bereken de zwaartekracht die een homogene afgeplatte ster uitoefent op een andere massa (die voor te stellen is als een puntmassa).

Om dit vraagstuk wat gemakkelijker tot een goed einde te brengen maak ik een kleine omweg. Ik ga gebruik maken van de potentiaal van het zwaartekrachtveld. De potentiaalfunctie is de integraal van het zwaartekrachtveld, en omgekeerd is het zwaartekrachtveld de afgeleide van de potentiaalfunctie.

De zwaartekracht die twee massa’s op elkaar uitoefenen wordt beschreven door de gravitatiewet van Newton:

De integraal van het veld is de potentiaalfunctie:



Ik ga nu eerst de potentiaalfunctie bepalen en daarna pas de zwaartekracht die de ster uitoefent (het voordeel van deze werkwijze zal later blijken). Daartoe kiezen we een bepaald x-y-z-assenstelsel en ik plaats het zwaartepunt van de ster in de oorsprong van dit assenstelsel. Aan de evenaar heeft de ster een grotere straal dan aan de beide polen, want de ster is immers afgeplat. De straal aan de evenaar noem ik a en de straal aan de beide polen noem ik b. Wanneer ik een horizontaal schijfje uit de ster haal dan heeft dat de vorm van een cirkel, maar wanneer ik een verticaal schijfje uit de ster haal dan heeft dat de vorm van een ellips. Voor de excentriciteit van die ellips kan ik schrijven:



En de maximale straal is dan:



Bij de evenaar is θ = 0 en is de maximale straal:



Bij de polen is θ = +π/2 of θ = −π/2 en vind ik voor de maximale straal:



De ster, met massa m1, oefent zwaartekracht uit op een andere massa, m2, die zich op coördinaten (x, y, z) bevindt. De zwaartepunten van m1 en m2 bevinden zich op een afstand R van elkaar. En omdat het zwaartepunt van m1 zich in de oorsprong bevindt geldt voor R:



Ik ga een infinitesimaal stukje massa van de ster beschouwen, dm1, en dat bevindt zich op de coördinaten (ξ, η, ζ) op een afstand r van de oorsprong. Voor r geldt dus:



Ik ga er van uit dat r veel kleiner is dan R (r is maximaal de straal van de ster en R is de afstand tot de andere massa, dus dit is een meer dan redelijke aanname). De afstand van het stukje massa dm1 tot (het zwaartepunt van) m2 noem ik s. Voor s geldt dus:



Uit de vergelijkingen (2) en (9) volgt dat ik voor de potentiaalfunctie van het stukje massa dm1 kan schrijven:



De potentiaalfunctie van de totale ster wordt dan:



We hebben te maken met een homogene ster en dan kan ik voor de dichtheid schrijven (hierin is V het totale volume van de ster):



Waaruit volgt:



Door te differentiëren ontstaat:



En dit stop ik in vergelijking (11):



Omdat we te maken hebben met een afgeplatte bol, een sferoïde, (of heel netjes gezegd: een oblate sferoïde) ligt het voor de hand om over te gaan naar bolcoördinaten. Voor een stukje dV geldt dan:



Waarmee vergelijking (15) wordt:



De hoek φ is de hoek die verandert wanneer ik een (hypothetische) wandeling maak over de evenaar en de hoek θ is de hoek die verandert wanneer ik een (wederom hypothetische) wandeling maak van de ene pool naar de andere. Ik kan daarom de volgende integratiegrenzen al invullen:



De integratiegrenzen van r liggen iets gecompliceerder. De straal r loopt van nul tot rmax (zie vergelijking (4)):



Ik ga de term 1/s, de breuk in de integraal hierboven, even apart onder handen nemen en om te beginnen werk ik de haakjes weg:



Met behulp van de vergelijkingen (7) en (8) wordt dit:



Ik heb nu iets van de vorm:

De volgende stap is om dit te ontwikkelen in een Taylor-reeks:

De constanten ci bepaal ik als volgt:



Voor het gemak schrijf ik f (x) als volgt:



Nu ga ik de afgeleiden bepalen:











Vervolgens ga ik overal nul invullen om de constanten ci te bepalen:













Aldus kom ik tot de volgende reeks:



Hiermee komt vergelijking (21) er als volgt uit te zien:



Ik dien mij hier even te bezinnen, want het aantal termen dat ik meepak is bepalend voor de nauwkeurigheid die ik kan bereiken. De verhouding rmax/R is voor de Zon en de planeet die daar het dichtst bij staat, Mercurius, ongeveer 7 ∙ 105/58 ∙ 106 = 0.012. Indien ik alle termen tot en met de derde orde meeneem, en alle hogere orde termen verwaarloos, dan zit ik maximaal ongeveer 0.0124 verkeerd en dat is ruim minder dan 10−7. Dat lijkt me ruimschoots voldoende.

Nu komt de boeiende taak om de haakjes weg te werken. Ik doe dat apart voor alle tellers, en combinaties van r-ξ-η-ζ neem ik dus mee tot en met de derde orde:





Hiermee gaat vergelijking (29) over in deze puinhoop:



En dit stop ik weer terug in de integraal van vergelijking (19):



Nu moet ik ξ, η en ζ nog uitdrukken in r, φ en θ. We werken in bolcoördinaten dus dan geldt:







Waarmee de chaos van vergelijking (32) nog wat verder toeneemt:



Nu ga ik de eerste integraal oplossen, waarbij ik gebruik maak van de tabel met standaardintegralen. Ik neem ze even allemaal apart en ik begin met de integralen die als resultaat nul hebben:















Dat ruimt lekker op! Ik kan een flink aantal termen overboord gooien:



De overgebleven termen met φ hebben als resultaat:





En de termen zonder φ hebben als resultaat:



Zodat het uiteindelijke resultaat van de eerste integraal wordt:



Nu ga ik de tweede integraal oplossen:



En tenslotte ga ik de derde integraal oplossen, waarbij ik wederom gebruik maak van de tabel met standaardintegralen. Ik neem ze weer even allemaal apart en ik begin met de integralen die als resultaat nul hebben:









Ook dat ruimt lekker op:



De resterende integralen hebben als resultaat:









Hiermee bereik ik tenslotte als antwoord:



Voor het volume van deze sferoïde geldt:



Hiermee, en met vergelijking (12), ga ik de breuk onder handen nemen die helemaal vooraan staat in het rechterlid van vergelijking (44):



Zodat vergelijking (44) uiteindelijk deze vorm krijgt:



Even dit tussendoortje:



Zodat (47) er nog mooier uit komt te zien:



Ongelooflijk (bijna) dat na al dit ingewikkelde rekenwerk er een relatief eenvoudige vergelijking overblijft. Wederom de schoonheid van de wiskunde in actie!

Voordat ik de volgende stap neem schrijf ik (49) uit in x, y en z:



En nu komt het grote voordeel dat ik de potentiaalfunctie heb uitgerekend, want de zwaartekracht die de ster uitoefent in de x-richting, y-richting en z-richting vind ik door vergelijking (50) simpelweg partieel te differentiëren naar x, y en z:







Door deze afgeleiden met m2 te vermenigvuldigen krijg ik krachten:







De totale zwaartekracht die de ster uitoefent op de puntmassa is:



Ik ga even een paar speciale gevallen onderzoeken. Allereerst beschouw ik het vlak waar de evenaar van de ster zich in bevindt, daar is z = 0:



De extra term (de rechterterm) is dan positief, dit betekent dat de ster daar meer zwaartekracht uitoefent dan een perfect-ronde ster (met dezelfde massa uiteraard).

Vervolgens beschouw ik de punten precies boven en onder de polen, daar is x = y = 0:



De extra term is dan negatief, dit betekent dat de ster daar minder zwaartekracht uitoefent dan een perfect-ronde ster (met dezelfde massa).

Waar bevindt zich dan het gebied waar de zwaartekracht ‘normaal’ is? Dat is waar de extra term gelijk is aan nul:



Dit is een kegel met de top in de oorsprong. Eigenlijk twee kegels, eentje die naar beneden gericht is en eentje die naar boven gericht is, dus een diabolo. Binnen de diabolo is er een fractie minder zwaartekracht, dan wanneer de ster perfect rond zou zijn, en buiten de diabolo is er een fractie meer zwaartekracht.