Astronomie, vraagstuk 8

Bereken het traagheidsmoment van een homogene afgeplatte ster.

(Credits: NASA)

Massa is een maat voor de weerstand tegen snelheidsverandering. Mijn massa is ongeveer 85 kilogram, dus als je mij in beweging wilt krijgen, of juist tot stoppen wilt dwingen, dan zul je 85 kilogram weerstand moeten overwinnen. En daar zul je even je best voor moeten doen, en daarom spreken we in deze context ook wel over trage massa of traagheid.

Iets dat draait (of niet draait) heeft ook weerstand tegen snelheidsverandering (in dit geval de snelheid van het ronddraaien). Maar hier is nog een extra parameter in het spel, namelijk de afstand tot de rotatie-as. Wanneer je mij op een draaibaar plateau zet (in het midden) dan zul je veel minder moeite hebben om mij in beweging te krijgen, dan wanneer je mij in een draaimolen zet waarbij ik op een afstand van enkele meters van de rotatie-as zit (afgezien daarvan dat je dan ook nog de draaimolen in gang moet zetten). Deze weerstand heet het traagheidsmoment.

De wiskundige definitie van het traagheidsmoment is:



Of in woorden: van een bepaald voorwerp met massa m moet ieder infinitesimale deelstukje dm vermenigvuldigd worden met het kwadraat van de loodrechte afstand tot de rotatie-as en vervolgens opgeteld worden voor alle deelstukjes dm. Met andere woorden: er moet geïntegreerd worden over de totale massa m.

We hebben te maken met een homogene ster en dan kan ik voor de dichtheid schrijven (hierin is V het totale volume):



Waaruit volgt:



Door te differentiëren ontstaat:



En dit stop ik in vergelijking (1):



Omdat we te maken hebben met een afgeplatte bol, een sferoïde, (of heel netjes gezegd: een oblate sferoïde) ligt het voor de hand om over te gaan naar bolcoördinaten. Voor een stukje dV geldt dan:



Waarmee vergelijking (5) wordt:



De hoek φ is de hoek die verandert wanneer ik een (hypothetische) wandeling maak over de evenaar en de hoek θ is de hoek die verandert wanneer ik een (wederom hypothetische) wandeling maak van de ene pool naar de andere. Ik kan daarom de volgende integratiegrenzen al invullen:



Voor de loodrechte afstand tot de rotatie-as kan ik schrijven:



Waarmee vergelijking (8) wordt:



De integratiegrenzen van r liggen iets gecompliceerder. Aan de evenaar heeft de ster een grotere straal dan aan de beide polen, want de ster is immers afgeplat. De straal aan de evenaar noem ik a en de straal aan de beide polen noem ik b. Wanneer ik een horizontaal schijfje uit de ster haal dan heeft dat de vorm van een cirkel, maar wanneer ik een verticaal schijfje uit de ster haal dan heeft dat de vorm van een ellips. Voor de excentriciteit van die ellips kan ik schrijven:



En de maximale straal is dan:



Bij de evenaar is θ = 0 en is de maximale straal:



Bij de polen is θ = +π/2 of θ = −π/2 en vind ik voor de maximale straal:



Deze maximale straal (vergelijking (12)) kan ik dus gebruiken als bovengrens van de integraal en de ondergrens is uiteraard nul:



Ik begin nu met de eerste integraal:



Nu is de tweede integraal aan de beurt:



En tot slot de derde integraal, die zoek ik op in de tabel met standaardintegralen:



Nu zet ik vergelijking (3) weer in:



Voor het volume van deze sferoïde geldt:



In combinatie met vergelijking (19) kom ik zo tot het antwoord:



Hier knutsel ik nog wat mee verder:



Dit is niets meer of minder dan het traagheidsmoment van een bol (zie het vorige vraagstuk), op zich niets bijzonders. Wat op zich wel bijzonder is, of wat je in eerste instantie niet zou verwachten (ik althans niet), is dat de afplatting geen invloed heeft op het traagheidsmoment (want vergelijking (22) bevat alleen maar de horizontale straal a en niet de verticale straal b).