Astronomie, vraagstuk 7

Bereken het traagheidsmoment van een homogene perfect-ronde ster.

(Credits: NASA)

Massa is een maat voor de weerstand tegen snelheidsverandering. Mijn massa is ongeveer 85 kilogram, dus als je mij in beweging wilt krijgen, of juist tot stoppen wilt dwingen, dan zul je 85 kilogram weerstand moeten overwinnen. En daar zul je even je best voor moeten doen, en daarom spreken we in deze context ook wel over trage massa of traagheid.

Iets dat draait (of niet draait) heeft ook weerstand tegen snelheidsverandering (in dit geval de snelheid van het ronddraaien). Maar hier is nog een extra parameter in het spel, namelijk de afstand tot de rotatie-as. Wanneer je mij op een draaibaar plateau zet (in het midden) dan zul je veel minder moeite hebben om mij in beweging te krijgen, dan wanneer je mij in een draaimolen zet waarbij ik op een afstand van enkele meters van de rotatie-as zit (afgezien daarvan dat je dan ook nog de draaimolen in gang moet zetten). Deze weerstand heet het traagheidsmoment.

De wiskundige definitie van het traagheidsmoment is:



Of in woorden: van een bepaald voorwerp met massa m moet ieder infinitesimale deelstukje dm vermenigvuldigd worden met het kwadraat van de loodrechte afstand tot de rotatie-as en vervolgens opgeteld worden voor alle deelstukjes dm. Met andere woorden: er moet geïntegreerd worden over de totale massa m.

We hebben te maken met een homogene ster en dan kan ik voor de dichtheid schrijven (hierin is V het totale volume):



Waaruit volgt:



Door te differentiëren ontstaat:



En dit stop ik in vergelijking (1):



Omdat we te maken hebben met een bol ligt het voor de hand om over te gaan naar bolcoördinaten. Voor een stukje dV geldt dan:



Waarmee vergelijking (5) wordt:



De hoek φ is de hoek die verandert wanneer ik een (hypothetische) wandeling maak over de evenaar en de hoek θ is de hoek die verandert wanneer ik een (wederom hypothetische) wandeling maak van de ene pool naar de andere. Ik kan daarom de volgende integratiegrenzen al invullen:



Voor de loodrechte afstand tot de rotatie-as kan ik schrijven:



Waarmee vergelijking (8) wordt:



En de integratiegrenzen van r zijn dan 0 en a (a is de straal van de ster):



Ik begin nu met de eerste integraal:



Nu is de tweede integraal aan de beurt:



En tenslotte de derde integraal waarbij ik gebruik maak van de tabel met standaardintegralen:



Nu zet ik vergelijking (3) weer in:



Voor het volume van een bol geldt:



In combinatie met vergelijking (15) kom ik zo tot het antwoord:



Dit is uiteraard niets meer of minder dan het traagheidsmoment van een bol (want het betreft een perfect-ronde ster), niets bijzonders. Wanneer we echter te maken hebben met een ster die licht afgeplat is aan de polen dan wordt de situatie ineens een heel stuk gecompliceerder. Dit vraagstuk was slechts een opwarmertje voor het echte werk (de afgeplatte ster) die in het volgende vraagstuk aan de orde komt.