Astronomie, vraagstuk 5

Leid de drie wetten van Kepler af, waarbij de secundaire massa niet verwaarloosbaar is ten opzichte van de primaire massa.

De ontdekking dat de planeetbanen niet perfect cirkelvormig zijn maar elliptisch (ovaal) staat op naam van de Duitser Johannes Kepler. Hij heeft ons drie wetten nagelaten volgens welke de planeten bewegen in hun baan om de Zon en die drie wetten gaan we hier afleiden.

Om te beginnen vormen we een coördinatenstelsel x-y-z waarvan de assen loodrecht op elkaar staan. De oorsprong van dit stelsel valt samen met het zwaartepunt, zeg maar het middelpunt, van de Zon. De massa van de Zon is mz. Op een afstand r van de oorsprong bevindt zich een planeet met massa mp die in een baan om de Zon draait. Deze planeet bevindt zich op coördinaten (x, y, z). Er geldt:

De zwaartekracht die de planeet en de Zon op elkaar uitoefenen is volgens de zwaartekrachtwet van Newton (en opgesplitst in de x, y en z richting):







Door al dit getrek aan de Zon beweegt de Zon uiteraard, maar niet binnen het x-y-z-stelsel want de oorsprong van dit stelsel hebben we immers in het zwaartepunt van de Zon neergelegd. Vervolgens stellen we ons voor dat er zich ergens een ‘vast punt’ in de ruimte bevindt en dat punt bevindt zich in de oorsprong van het coördinatenstelsel ξ-η-ζ. Ten opzichte van het ξ-η-ζ-stelsel beweegt de Zon natuurlijk wel, en wel onder invloed van het getrek van de planeet zoals we hierboven beschreven hebben:







Door de vergelijkingen (2) en (3) te combineren ontstaat:







De vergelijkingen (2) beschrijven de zwaartekracht die de planeet en de Zon op elkaar uitoefenen. Oftewel, de planeet trekt aan de Zon maar de Zon trekt net zo hard aan de planeet. In lijn met de vergelijkingen (4) kan ik als bewegingsvergelijkingen voor de planeet opschrijven (met een minteken voor het rechterlid, want de planeet wordt richting de oorsprong, de Zon, getrokken):







Vanuit het ξ-η-ζ-stelsel bezien wordt dit:







Voor de tweede afgeleiden van de ξ-η-ζ-coördinaten kan ik, met behulp van de vergelijkingen (4), ook schrijven:







Door nu nog te stellen dat:



Zo komen we tot deze set vergelijkingen:







Door de vergelijking (9a) met y te vermenigvuldigen en (9b) met x, en vervolgens de resultaten van elkaar af te trekken krijgen we dit:



Ditzelfde ga ik ook doen door (9a) met z te vermenigvuldigen en (9c) met x, en (9b) met z te vermenigvuldigen en (9c) met y:





De vergelijkingen (10) ga ik integreren:







Hierin zijn de c’s integratieconstanten. De vergelijkingen (11) ga ik vermenigvuldigen met respectievelijk z, −y en x, en ik tel ze alledrie bij elkaar op:



Dit is de vergelijking van een plat vlak, dus de planeet beweegt in een plat vlak en de Zon bevindt zich in datzelfde vlak (in de oorsprong). Dit resultaat gaan we zometeen gebruiken. Nog even dit tussendoortje. Voor r2 geldt:



Hieruit volgt door te differentiëren:



Hier ga ik gebruik van maken bij het volgende. Ik ga de vergelijkingen (9) vermenigvuldigen met respectievelijk 2dx, 2dy en 2dz, en bij elkaar optellen:



Vergelijking (15) ga ik vervolgens integreren:



Dit resultaat parkeren we even. Nu ga ik de vergelijkingen (11) kwadrateren en bij elkaar optellen:



Ik stel:



Waarmee vergelijking (17) tenslotte wordt:



Indien de planeet een infinitesimaal stukje aflegt van zijn baan, dan geldt er voor dat stukje baanlengte in cartesische coördinaten (gewone x-y-z-coördinaten):

Dat is simpelweg de stelling van Pythagoras toepassen, maar in poolcoördinaten ligt het iets ingewikkelder:



Figuur 1
Laten we even inzoomen:


Figuur 2
De infinitesimale verandering van r is dr, en loodrecht daarop staat rdθ. Het stukje baanlengte in poolcoördinaten wordt dan:



Uit (20) en (21) volgt:



Dit vul ik in in (19):



Nu ga ik vergelijking (16) iets anders opschrijven:



En vergelijking (17) ook:



Door (24) en (25) te combineren krijg ik een uitdrukking voor dt:



En die vul ik in in (23):



Door dit iets anders op te schrijven heb ik in één klap de afgeleide van r (naar θ):



En door (28) nul te stellen vind ik de extreme waarden van r:



De oplossing r = 0 is die waarbij beide hemellichamen op ramkoers liggen en waarbij ze uiteindelijk ook op elkaar botsen. Maar het zijn natuurlijk de andere oplossingen die ons interesseren. Ik stel:





Waarmee ik (29) als volgt kan schrijven:



Met deze kennis ga ik vergelijking (27) omschrijven:



Vervolgens ga ik integreren:



Hier heb ik de vergelijking van een ellips! De integratieconstante θ0 is de hoek van waaraf θ wordt bepaald en die stel ik voor het gemak gelijk aan nul. Vergelijking (34) kan ik tenslotte schrijven als:



Hierin is e de numerieke excentriciteit, of kortweg excentriciteit, van de ellips:



Met a als de halve lange as, b als de halve korte as en ε als de lineaire excentriciteit van de ellips. Voor de teller van (35) kan ik dus ook schrijven:



Ik schrijf nu (31) even iets anders op:



En vervolgens ga ik verder met vergelijking (26) en ik vul hier de waarden van de integratieconstanten in volgens (30) en (38), en ik maak ook gebruik van (8):



Bovenstaande vergelijking ga ik integreren waarbij ik als integratiegrenzen r = a (1 − e) en r = a (1 + e) neem, oftewel de punten van kleinste afstand (het perihelium) en grootste afstand (het aphelium) tot de Zon. De tijdsduur hiervan (om van perihelium tot aphelium te komen) is uiteraard de helft van de totale omlooptijd T:



Voor twee planeten, p1 en p2 verhouden zich de kwadraten van hun omlooptijden aldus:



Indien we de massa’s van de planeten verwaarlozen ten opzichte van de massa van de Zon dan verhouden de kwadraten van hun omlooptijden zich als de derde machten van hun lange baanassen. En indien we de planeetmassa’s niet kunnen verwaarlozen dan is het ongeveer de derde macht.

Tenslotte ga ik nog met vergelijking (23) aan de gang. Ik vul daar de waarde van C in volgens (38) en de waarde van k volgens (8):



Het linkerlid is een infinitesimaal oppervlakje dO (de oppervlakte van een gelijkbenige driehoek is halve basis maal hoogte, zie ook figuur 1) van de ellips en het rechterlid is de tijd voorafgegaan door een aantal constanten. Door dit te gaan integreren tussens willekeurige grenzen volgt hieruit:



Na al dit gereken hebben we alle ingrediënten bij elkaar om de wetten van Kepler op een rijtje te zetten. De eerste wet van Kepler zegt dat alle planeten in elliptische banen om de Zon bewegen, waarbij de Zon niet in het middelpunt van de ellips staat maar in één van de brandpunten. Dit volgt uit vergelijking (35):



Met (32) heb ik het aphelium en het perihelium berekend:



Merk op dat de som van beide gelijk is aan 2a, zijnde de lange as van de ellips.

De tweede wet van Kepler zegt dat een planeet in gelijke tijdsintervallen gelijke oppervlakten bestrijkt, waarbij een oppervlakte gevormd wordt door de taartpunt met de Zon aan de punt en de planeetbaan als de rand van de taart. Deze wet zit verborgen in (43):



Deze wet is bekend onder de naam perkenwet.

De derde wet van Kepler zegt dat het kwadraat van de omlooptijd van een planeet evenredig is met de derde macht van de halve lange as van de baan. Dit is zichtbaar middels vergelijking (41):



Ik zet ze even netjes op een rijtje, de drie wetten van Kepler: