Astronomie, vraagstuk 3

Welke Lagrange-punten zijn stabiel en welke niet?

In het vorige vraagstuk stond de vraag centraal: waar liggen de Lagrange-punten? Het bleek dat er vijf Lagrange-punten zijn, punten waar zwaartekracht en centripetale kracht in evenwicht zijn. Nu komt de logische vervolgvraag: wat kun je ermee? Kun je op die posities een ruimtestation of een ruimtetelescoop plaatsen of geeft dat problemen? Met andere woorden, we willen weten of de Lagrange-punten stabiele posities in de ruimte zijn waar je ‘iets neer kunt zetten’.

Onze uitgangspunten blijven onveranderd:
  1. het derde object heeft een massa die veel kleiner is dan de andere twee objecten zodat het zwaartepunt van het systeem op dezelfde plaats blijft na toevoeging van het derde object,
  2. de objecten beschrijven cirkelvormige banen (in werkelijkheid zijn de planeetbanen ellipsen, maar de afwijking van de perfecte cirkel is vaak gering en dit vereenvoudigt het rekenwerk enorm).
De drie objecten noem ik m1, m2 en m3 waarbij m3 het derde object is met een massa die veel kleiner is dan m1 en m2. L is het zwaartepunt, gelegen in de oorsprong O, en in de vergelijkingen is L de som van de massa’s. De afstand van m1 tot de oorsprong is a, de afstand van m2 tot de oorsprong is b en de afstand van m3 tot de oorsprong is r. G is de gravitatieconstante.


Figuur 1
In het vorige vraagstuk vonden we de volgende vergelijkingen als relatie tussen de massa’s en de afstanden:





En we vonden dat voor de hoekfrequentie van alle objecten geldt:



Drie Lagrange-punten kunnen gevonden worden door het vinden van het (enige) nulpunt van deze vijfdegraads vergelijking:



Voor L1, gelegen tussen m1 en m2, geldt:



Voor L2, gelegen rechts van m2, geldt:



Voor L3, gelegen links van m1, geldt:



L4 en L5 liggen in een perfecte gelijkzijdige driehoek met m1 en m2:


Figuur 2


Figuur 3
Maar hoe komen we er nu achter of een Lagrange-punt stabiel is? Indien zich iets in een Lagrange-punt bevindt, blijft dat object daar dan of drift het daar langzaam (of snel) uit weg? Dit heeft te maken met het wel of niet hoeven te verrichten van arbeid. Indien je stevig aan de slag moet om m3 van zijn plaats af te krijgen dan moet je arbeid verrichten en is het Lagrange-punt stabiel. Is het daarentegen voldoende om alleen maar even tegen m3 aan te blazen en hij gaat er al vandoor dan is er duidelijk geen sprake van een stabiele situatie. In het eerste geval kun je zeggen dat m3 in een dal ligt en tegen een bergwand opgeduwd moet worden en in het tweede geval ligt m3 bovenop een bergtop en rolt hij bij het minste of geringste van de berg af. De positie in het dal is stabiel en de positie op de bergtop is dat niet. De Lagrange-punten liggen op punten waar het zwaartekrachtveld en het centripetale veld elkaar in evenwicht houden en het berglandschap met de toppen en de dalen van die velden noemen we de potentiaalfunctie.

In zijn algemeenheid geldt voor de te verrichten arbeid W dat die gelijk is aan de uitgeoefende kracht in de richting van de afgelegde weg:



Indien de kracht een zwaartekracht is, bijvoorbeeld de zwaartekracht die m3 van m1 ondervindt, dan wordt vergelijking (8):



De zwaartekracht die m1 ‘uitstraalt’ noem ik het veld V. Daarmee kan ik vergelijking (9) ook schrijven als:



Ik ga nog een stapje verder:



Hierin is Φ potentiaalfunctie en de ∆ komt er bij in omdat de (bepaalde) integraal ook een verschil tussen ‘hier’ en ‘daar’ aangeeft. Oftewel:



De potentiaalfunctie van het zwaartekrachtveld van m1 is:



De potentiaalfunctie van het zwaartekrachtveld van m2 is:



En de potentiaalfunctie van het centripetale veld is:



Weet je wat nou zo ontzettend prettig is? Potentiaalfuncties zijn geen vectorfuncties maar kunnen gewoon als getallen bij elkaar opgeteld worden. Wanneer we het over krachten hebben dan praten we over vectoren en die tellen we als vectoren bij elkaar op. Op de posities waar de Lagrange-punten liggen is er een evenwicht en is de resulterende kracht nul:



In navolging hierop kan ik voor de totale potentiaalfunctie, van alle velden samen, schrijven:



Dit ga ik combineren met de vergelijkingen (13), (14) en (15):



Met behulp van de vergelijkingen (1), (2) en (3) wordt dit:



Voor x = −a of x = b komt hier −∞ uit en daaromheen niet. Dus m1 en m2 liggen ieder stevig in een dal (zoals te verwachten was).

Laten we maar eens gaan rekenen. Ik heb vergelijking (19) in een Excel file (opent in een nieuw tabblad) gestopt en gekeken wat de potentiaal doet op enige afstand ∆x (naar links of naar rechts) of ∆y (naar boven of naar onderen) van de Lagrange-punten. En wat blijkt dan? De punten L1, L2 en L3 liggen in een potentiaal-zadel (een zadel heeft de vorm van een dal in de ene richting en de vorm van een berg in de andere richting, een ruiter op een paard zit in de rijrichting in een dal en loodrecht daarop op een berg zodat hij zijn benen kwijt kan) en L4 en L5 liggen op een potentiaalberg. Oftewel, de eerste drie Lagrange-punten zijn in één richting stabiel en in de andere richting niet, en de andere twee Lagrange-punten zijn in alle richtingen labiel.

Echter, dit is wat kort door de bocht want de zaak ligt iets gecompliceerder.

In vergelijking (15) heb ik de potentiaalfunctie uitgerekend van het centripetale veld en daarbij heb ik de hoeksnelheid ω als constant verondersteld en was de afstand r de enige variabele op het moment dat ik de integraal uitrekende. Voor de hoeksnelheid geldt:



Indien m3 een Lagrange-punt verlaat in de draairichting, en dus ‘ervoor’ of ‘erachter’ terechtkomt, dan zal zijn snelheid iets hoger of iets lager geworden zijn en dus ook zijn hoeksnelheid. En als m3 een Lagrange-punt verlaat loodrecht op de draairichting (wat zowiezo het gevolg is van een snelheidsverandering), en dus ‘ernaast’ terechtkomt, dan zal zijn afstand r tot het zwaartepunt veranderen en daardoor ook weer zijn hoeksnelheid. Kortom, de hoeksnelheid is allerminst een constante maar is onderdeel van subtiele veranderingen. Deze subtiele veranderingen vragen om een nader onderzoek.

Tot nu toe zijn wij de toeschouwers van het hele systeem dat gevormd wordt door m1, m2 en m3. We hebben een coördinatenstelsel aangelegd en wij zien het hele systeem met massa’s daarin met een hoeksnelheid ω ronddraaien. Dit coördinatenstelsel van ons kent ergens in het universum een hele speciale verankering, want in dit coördinatenstelsel zijn alle posities absoluut, alle snelheden zijn absoluut en alle versnellingen zijn absoluut. Nu gaan we van plaats wisselen. We gaan plaatsnemen in het ronddraaiende systeem, we stappen als het ware in de draaimolen, en gaan meedraaien met het systeem. Dan verandert uiteraard ook ons coördinatenstelsel. Het oorspronkelijke (absolute) coördinatenstelsel noem ik α en daarin geldt:







Dit is inderdaad nogal wiedus. Stel dat ik ergens een nieuw coördinatenstelsel aanleg, en dat noem ik β, dat verplaatst is ten opzichte van α in de x, y en z-richting over respectievelijk xα,0, yα,0 en zα,0, dan kan ik de α-coördinaten schrijven als functie van de β-coördinaten als volgt:







Nu ga ik het β-stelsel ook nog draaien ten opzichte van α (in het x-y-vlak) over een vaste hoek φ. De α-coördinaten als functie van de β-coördinaten worden dan:







Maar ik wil niet een eenmalige rotatie over een bepaalde hoek maar ik wil continu meedraaien met een bepaalde hoeksnelheid Ω. Dus de rotatiehoek φ wordt een functie van de tijd als volgt:







Dit tussenresultaat ga ik als vectorvergelijking schrijven:



De vector aan de linkerkant van de vergelijking is de positie in het absolute systeem en daarvan ga ik de grootte uitrekenen:



Daarmee wordt vergelijking (25):



En omdat α het absolute systeem is kan ik ook schrijven:



Ik ga ook de grootte uitrekenen van de eerste vector aan de rechterkant van de vergelijking:



Daarmee wordt vergelijking (28):



Tenslotte komen we bij de laatste vector. Ook daarvan ga ik de grootte uitrekenen:



Vergelijking (30) wordt dan:



Omdat β het roterende coördinatenstelsel is kan ik ook schrijven:



Dit resultaat zetten we even apart. Door de vergelijkingen (24) te differentiëren naar de tijd verkrijg ik snelheden:







De vergelijkingen (34) ga ik als vectorvergelijking schrijven:



De vector aan de linkerkant van de vergelijking is de snelheid in het niet-roterende systeem, het absolute systeem, en daarvan ga ik de grootte uitrekenen:



Daarmee wordt vergelijking (35):



Oftewel:



Ik ga ook de grootte uitrekenen van de eerste vector aan de rechterkant van de vergelijking:



Daarmee wordt vergelijking (38):



En zoals bekend is β het roterende coördinatenstelsel:



Tenslotte komen we bij de laatste vector. Ook daarvan ga ik de grootte uitrekenen:



Vergelijking (41) wordt dan:



Die laatste term is inderdaad een snelheid, maar toch gaat er nu iets niet goed. De positievector rβ wijst naar buiten en dat is natuurlijk niet de richting van de snelheid in een ronddraaiend systeem want die staat daar loodrecht op. Dat kun je ook zien aan de vector van vergelijking (42) door die in α-coördinaten te schrijven:



Bovenaan staat de negatieve y-coördinaat en daaronder staat de x-coördinaat om duidelijk te maken dat er een draaiing over negentig graden heeft plaatsgevonden. Dus of we houden vast aan vergelijking (41):



Of we nemen de draaiing over negentig graden mee in de vectornotatie:



Goed, ook dit parkeren we even. Ik pak de vergelijkingen (34) weer op en door die nogmaals te differentiëren naar de tijd vormen zich versnellingen:







Zo, nu heb ik alles wat ik weten wil over wat er gebeurt in mijn nieuwe roterende coördinatenstelsel. Dit stelsel draait rond met een constante hoeksnelheid Ω en daarin liggen m1 en m2 en de vijf Lagrange-punten muurvast op hun plaats. Omdat de hoeksnelheid constant is betekent dat:



Daarmee vereenvoudigen de vergelijkingen (46) tot:







Dit is wederom een goed moment om dit tussenresultaat als vectorvergelijking te schrijven:



De vector aan de linkerkant van de vergelijking is de versnelling in het niet-roterende systeem, het absolute systeem, en daarvan ga ik de grootte uitrekenen:



Daarmee wordt vergelijking (49):



Oftewel:



Ik ga ook de grootte uitrekenen van de eerste vector aan de rechterkant van de vergelijking:



Daarmee wordt vergelijking (52):



En omdat β het roterende systeem is:



Vervolgens ga ik ook de grootte uitrekenen van de tweede vector aan de rechterkant van de vergelijking:



En dit gaat inderdaad analoog aan vergelijking (31) (zoals het natuurlijk ook zou moeten gaan). De tweede term aan de rechterkant is daarmee geen onbekende, het is de centripetale versnelling:



De centripetale versnelling werkt inderdaad naar buiten toe in de richting van de positievector r dus dit klopt volledig. Daarmee wordt vergelijking (55):



Tenslotte komen we bij de laatste vector. Ook daarvan ga ik de grootte uitrekenen:



De laatste term wordt daardoor:



Die laatste term is inderdaad een versnelling, maar er gaat opnieuw iets niet goed. De x-component van de vector hierboven is de negatieve y-component van de snelheid en de y-component is de x-component van de snelheid. Deze versnelling staat loodrecht op de snelheid en dat is de naar buiten gerichte snelheid. Dat is goed te zien door de componenten van deze snelheidsvector te vergelijken met de componenten van de positievector van vergelijking (44). Daar stond de snelheidsvector loodrecht op de naar buiten gerichte positievector en hier staat de versnellingsvector loodrecht op de naar buiten gerichte snelheidsvector. Dus of we handhaven vergelijking (58):



Of we nemen de draaiing over negentig graden mee in de vectornotatie:

De laatste term is de Coriolis-versnelling. Over deze versnelling zijn in de loop van de tijd heel wat boeken volgeschreven en de discussies lopen hoog op of dit nou een echte versnelling is of een mathematisch trucje. Het antwoord is: net als de centripetale versnelling is de Coriolis-versnelling een wiskundig verschijnsel. Zeker in dit geval is het wel heel duidelijk dat de Coriolis-versnelling hartstikke nep is. Het zou wel heel raar zijn indien ergens ineens een versnelling optreedt als een waarnemer besluit om een ander coördinatenstelsel in het leven te roepen. Een coördinatenstelsel is immers alleen maar een wiskundig hulpmiddel en heeft geen enkele invloed op de echte wereld. Zo komen we uiteindelijk tot:



Of anders opgeschreven:



Als ik zometeen een wandeling ga maken in zuidelijke richting, richting de evenaar, met constante snelheid, dan gaat ongemerkt toch mijn snelheid toenemen. Om precies te zijn: mijn snelheid loodrecht op mijn wandelrichting. Ik wandel in zuidelijke richting en mijn snelheid in oostelijke richting gaat toenemen. Waarom? Aan de evenaar is de omtrek van de Aarde ongeveer 40000 kilometer en de Aarde draait in 24 uur om haar as dus iemand die op de evenaar staat heeft een snelheid in oostelijke richting van bijna 1700 km/uur. Op de noordpool is de omtrek van de Aarde nul en dus ook de snelheid van iemand die daar zou staan. Door van de noordpool naar de evenaar te lopen neemt je oostwaarts-gerichte-snelheid dus toe van nul km/uur naar 1700 km/uur. En snelheidsverandering is per definitie versnelling. Deze versnelling, die ontstaat door beweging loodrecht op de rotatie-as, is Coriolis-versnelling. Wanneer ‘iets’ in een roterend systeem loodrecht op de rotatie-as beweegt EN (!!!) dat ‘iets’ heeft interactie met het roterende syteem dan is er een Coriolis-versnelling. Wanneer ik in het midden van een draaimolen sta en ik gooi een balletje naar buiten dan wordt dat balletje echt niet afgebogen door de draaimolen (want er is geen interactie). Echter, rol ik het balletje over de vloer van de draaimolen dan natuurlijk wel (want er is wel interactie).

Hier hoort ook nog weer een kanttekening bij, want het maakt wel degelijk uit wie de waarnemer is. Wanneer ik vanuit het midden van de draaimolen een balletje naar buiten gooi dan volgt dat balletje uiteraard een rechte lijn voor een waarnemer buiten de draaimolen. Echter, voor iemand in de draaimolen volgt het balletje geen rechte lijn omdat die persoon zelf ronddraait. De waarnemer-in-de-draaimolen zal claimen dat er een Coriolis-versnelling inwerkt op het balletje en een waarnemer-buiten-de-draaimolen zal hem mogelijk hard uitlachen. Maar in het geval van een wervelstorm zullen een waarnemer-in-de-wervelstorm en een waarnemer-buiten-de-wervelstorm het absoluut met elkaar eens zijn dat het stormt.

Nu hebben we een roterend coördinatenstelsel aangelegd met daarin een Coriolis-versnelling en die versnelling is dus puur een wiskundige kunstgreep. En toch gaat deze kunstgreep ons helpen. Want op het moment dat m3 uit een Lagrange-punt wegdrijft wordt de Coriolis-versnelling actief en het product van m3 en de Coriolis-versnelling wordt een schijnkracht.

Ik zet datgene wat we gevonden hebben aan transformatievergelijkingen even bij elkaar:







Ik laat de oorsprongen van beide coördinatenstelsels voor het gemak samenvallen. Dan gaat vergelijking (33) over in:



In het absolute stelsel draaien de massa’s en de Lagrange-punten rond met een snelheid:



Dit ga ik inbrengen in vergelijking (45):



Door Ω dat zo te kiezen dat die gelijk is aan ω, dat was immers de hele tijd de bedoeling, en met vergelijking (64) op de achtergrond, gaat vergelijking (66) over in:



En inderdaad, de snelheidsvector in het roterende stelsel wordt nul zoals de bedoeling was.

Ik ga nu even knutselen met vergelijking (63). Door te vermenigvuldigen met massa worden de versnellingen krachten:



De eerste term aan de rechterkant is de zwaartekracht, een echte kracht, en die is naar de oorsprong toe gericht (laten we voor het gemak even uitgaan van twee objecten die om elkaar heen draaien). De tweede term aan de rechterkant is de centripetale kracht, een schijnkracht, en die is van de oorsprong af gericht. In een stationair systeem zal er geen radiële snelheid zijn en is de laatste term, de Coriolis-kracht, nul. De zwaartekracht en de centripetale kracht heffen elkaar precies op en een ruimtevaarder in een baan om de Aarde voelt inderdaad netto geen enkele kracht op zichzelf uitgeoefend (oftewel, de kracht aan de linkerkant van de vergelijking is nul).

In het roterende stelsel liggen m1, m2 en de Lagrange-punten dus vast op hun plaats. Het roterende stelsel leg ik zo neer dat het Lagrange-punt, met daarin m3, ergens op de positieve x-as ligt. In een plaatje ziet dat er zo uit:


Figuur 4
De zwaartekracht die m1 uitoefent op m3 is (het minteken vooraan komt omdat in dit geval de zwaartekracht naar links gericht is):





En de zwaartekracht die m2 uitoefent op m3 is:





De totale zwaartekracht die m3 ondervindt is dus:



De centripetale kracht die m3 ervaart in het roterende systeem is volgens vergelijking (68):



En aangezien y gelijk is aan nul, daarom leek het mij wel handig om m3 op de x-as te plaatsen, wordt dit:



In het stationaire geval kent m3 geen horizontale snelheid en is er daarom ook geen Coriolis-kracht. Aldus geldt in het roterende systeem:



En wanneer je dit uitrekent dan komt daar perfect nul uit. Maar stel dat een stuk steen in botsing komt met m3 zodat m3 ineens een snelheid(je) heeft in de x-richting en de y-richting. Door de snelheid in de x-richting treedt de Coriolis-kracht in werking en gaat vergelijking (74) over in (zie vergelijking (68)):



Vervolgens deel ik alles door m3 zodat de bovenstaande krachtenvergelijking overgaat in een versnellingenvergelijking:



Wat staat hier nou eigenlijk? Indien door een verstoring de snelheid in de positieve y-richting toeneemt dan neemt de centripetale versnelling toe, en er ontstaat een snelheid in de positieve x-richting. Deze snelheid in de positieve x-richting veroorzaakt een Coriolis-versnelling in de negatieve y-richting, dus tegengesteld aan de verstoring. Wanneer de verstoring zorgt voor een snelheid in de positieve x-richting dan activeert dat de Coriolis-versnelling, en er ontstaat een snelheid in de negatieve y-richting. Deze snelheid in de negatieve y-richting veroorzaakt een centripetale versnelling in de negatieve x-richting (de centripetale versnelling die er reeds is neemt af om precies te zijn), dus tegengesteld aan de verstoring. En indien de verstoringen een snelheid de andere kant op veroorzaken dan zijn alle daaruit voortvloeiende acties uiteraard precies de andere kant op dan hierboven beschreven. Er is overduidelijk een regelmechanisme aanwezig dat verstoringen tegenwerkt. Maar is dit regelmechanisme voldoende willen we natuurlijk weten?

Om daarachter te komen gaan we een beetje variatiewiskunde doen. Allereerst verleg ik de oorsprong van mijn coördinatenstelsel naar het Lagrange-punt en ik laat de z-coördinaat voor het gemak buiten beschouwing want die is toch nul. Eerst lag een Lagrange-punt op (xL, yL, 0), maar in mijn nieuwe x-y-z-coördinaten ligt een Lagrange-punt op (0, 0, 0). Dus:









Vervolgens vraag ik mij af wat er gebeurt indien m3 kleine plaats- en snelheidsverstoringen ondergaat. De plaatsverstoringen noem ik δx en δy en de snelheidsverstoringen duid ik aan met δvx en δvy. Dit leidt tot de volgende veranderingen in het krachtenspel:





Dan is de logische volgende stap het bepalen van de partiële afgeleiden van de zwaartekracht. Ik heb geen zin om m3 de hele tijd mee te slepen dus die stel ik vanaf nu op één kilo. Daarnaast noem ik de afstand van m1 tot m3 d1 en de afstand van m2 tot m3 is d2. Daar gaan we:

















Deze partiële afgeleiden ga ik invullen in de vergelijkingen (78) en ik ga wat termen samenpakken om de boel overzichtelijk te houden:





Aangezien ik m3 op één kilo heb gesteld kan ik in plaats van kracht ook versnelling schrijven:





Ik zal de hulpvariabelen even overzichtelijk op een rijtje zetten:









Maar hoe nu verder? De vergelijkingen (81) zijn differentiaalvergelijkingen van de tweede orde:





Een gouden regel is dat alle natuurlijke processen verlopen volgens e-machten. Dan is het een goede stap om het volgende te stellen:





Hierin zijn de σ’s bepaalde startwaarden. De variaties van bovenstaande vergelijkingen worden dan:





Door de vergelijkingen (84) te differentiëren ontstaan snelheden:





En daar kan ik ook weer de variatie van opschrijven:





En door de vergelijkingen (86) te differentiëren ontstaan versnellingen:





Hiervan kan ik ook de variatie opschrijven:





De vergelijkingen (85), (87) en (89) ga ik invullen in de vergelijkingen (83):





Vervolgens deel ik die e-machten uit en ga ik de boel wat reorganiseren:





Nu kan ik de vergelijkingen (91) aan elkaar gelijk stellen:



Met behulp van de abc-formule volgt hieruit:



We zijn hier aan het analyseren wat er gebeurt in een Lagrange-punt en daar zijn x en y gelijk aan nul. Door ons eerst te richten op L1, L2 en L3 geldt bovendien dat yL = 0. Daaruit volgt dat de hulpvariabelen H2 en H3 nul worden. H4 wordt:



In dat geval vereenvoudigt vergelijking (93) tot:



Waaruit volgt voor λ:



Indien λ positief is dan groeit de e-macht, zie de vergelijkingen (84), en gaat m3 er gegarandeerd vandoor. Uit vergelijking (96) volgen in principe vier λ’s omdat er vier verschillende plus/min combinaties zijn voor de worteltekens. Als de plus/plus combinatie een positieve waarde oplevert dan is er absoluut sprake van instabiliteit:



Ik heb vergelijking (97) toegevoegd aan de Excel file (opent in een nieuw tabblad) en het blijkt dat voor de eerste drie Lagrange-punten van het Zon-Aarde systeem er altijd een positieve λ is en dat deze Lagrange-punten daarom niet stabiel zijn. De logische volgende vraag is natuurlijk of dit altijd zo is of dat dit toevallig zo is voor het Zon-Aarde systeem? Om dat te onderzoeken gaan we vergelijking (97) eens tegen het licht houden. Allereerst kijken we waar de binnenste wortel nul wordt:



Dus H1 moet in het bereik liggen:



Ligt H1 binnen deze grenzen dan komen we bij de complexe wortels die op hun beurt weer een (positief) reëel deel met zich meedragen en dat willen we niet. Dan willen we nog weten waar de buitenste wortel nul wordt:



Dit geeft een bereik voor H1:



Buiten dit bereik komen we tot een positieve λ en dat is dus niet gewenst. De combinatie van de vergelijkingen (99) en (101) geeft:



Vergelijking (82a) kunnen we omschrijven als volgt:



Waardoor vergelijking (102) te schrijven is als:



Ik noem dat middelste stuk de stabiliteitsfactor S en ik normaliseer voor het gemak naar c = 1. Dan geldt voor S:



In onderstaande grafiek heb ik S uitgezet als functie van a:


Figuur 5
De groene lijn is L1, de rode lijn is L2 en de blauwe lijn is L3. Helaas, helaas, de eerste drie Lagrange-punten zijn nooit stabiel (want daarvoor moet S tussen 8/9 en 1 liggen, zie vergelijking (104)).

Dan resten nog de Lagrange-punten 4 en 5. Daarom keren we nu terug naar vergelijking (93):



In de L4 en L5 punten zijn mijn hulpvariabelen:









Die ga ik vervolgens invullen in vergelijking (93):



Waaruit volgt voor λ:



Het stabiliteitsvraagstuk spitst zich ditmaal geheel toe op de binnenste wortel. Ik wil weten waar die wortel nul wordt:



De simpele voorwaarde voor stabiliteit voor L4 en L5 is dat m1 minstens 25 maal de massa heeft van m2. Aan deze voorwaarde wordt ruimschoots voldaan indien m1 de Zon is en m2 een willekeurige planeet in ons zonnestelsel. Ook alle planeet-maan systemen in ons zonnestelsel hebben stabiele L4’s en L5’s.

Een aantal opmerkingen tot slot: