Astronomie, vraagstuk 2

Wat zijn Lagrange-punten en waar bevinden die zich?

Stel je hebt twee objecten die om elkaar heen draaien, bijvoorbeeld de Aarde en de Maan, of de Zon en de Aarde, of een dubbelster. De vraag die Lagrange zich stelde was: is er ergens een derde object toe te voegen aan een dergelijk systeem zodanig dat dit derde object gaat meedraaien met dezelfde omlooptijd als de andere twee objecten? Met andere woorden, als we het Zon-Aarde systeem in gedachten nemen dan zou het gaan om een extra object dat ook rondjes gaat draaien en over ieder rondje, net zoals de Aarde, precies één jaar doet. De positie van het derde object verandert dus niet ten opzichte van de andere twee objecten omdat alle objecten dezelfde omlooptijd hebben. Dergelijke posities zijn de Lagrange-punten.

Hierbij gaan we uit van de volgende twee uitgangspunten:
  1. het derde object heeft een massa die veel kleiner is dan de andere twee objecten zodat het zwaartepunt van het systeem op dezelfde plaats blijft na toevoeging van het derde object,
  2. de objecten beschrijven cirkelvormige banen (in werkelijkheid zijn de planeetbanen ellipsen, maar de afwijking van de perfecte cirkel is vaak gering en dit vereenvoudigt het rekenwerk enorm).

Als we nog even het Zon-Aarde systeem in gedachten houden dan is er uiteraard ergens een punt P tussen de Zon en de Aarde waar de zwaartekrachten van beide hemellichamen even groot zijn maar tegengesteld gericht. Per saldo is de zwaartekracht daar dus nul. Ik noem de massa van de Zon m1 en de massa van de Aarde m2, en de respectievelijke afstanden tot het punt P r1 en r2. Ik plaats in het punt P een massa m3 en die ondervindt, volgens de zwaartekrachtwet van Newton, de volgende zwaartekracht van de Zon:



Hierin is G de gravitatieconstante. De zwaartekracht die m3 ondervindt van de Aarde is:



Deze krachten zijn in het punt P in grootte aan elkaar gelijk:



Het punt P is wel leuk om uit te rekenen waar het ligt, zoals we net hebben gedaan, maar dit is geen Lagrange-punt. Indien we een object in het punt P plaatsen dan is het een seconde later niet meer in het punt P omdat de andere twee objecten hun baanbeweging vervolgen en het derde object dat niet volgt. Zou het derde object wel de baanbeweging van de andere twee objecten volgen dan ontstaat er een middelpuntvliedende kracht, een centripetale kracht, die het derde object direct uit zijn baan slingert. Lagrange-punten worden nogal eens benoemd als “punten waar de zwaartekracht wegvalt” of iets van die strekking, maar dat is dus onzin. Het punt P dat we net uitgerekend hebben heeft nul en generlei waarde en is zeker geen Lagrange-punt.

Dit gezegd hebbende gaan we nu serieus aan het rekenen. Het eerste dat we willen weten is: waar ligt het zwaartepunt van het systeem? Het zwaartepunt L bevindt zich ergens tussen m1 en m2 en we gaan nu uitrekenen waar dat precies is.


Figuur 1
In het zwaartepunt van een systeem van massa’s kun je al die massa’s samengevoegd denken en de afstand van het zwaartepunt tot een bepaald referentiepunt maal de totale massa is gelijk aan alle afzonderlijke massa’s maal hun respectievelijke afstanden tot het referentiepunt. In figuur 1 heb ik een oorsprong O aangelegd als referentiepunt en wat afstanden aangegeven. Wat ik zojuist beschreven heb in woorden is in formulevorm:



Bovendien geldt:



Door vergelijking (5) te combineren met vergelijking (4) ontstaat:



Ik geef in figuur 1 nog een paar afstanden aan:


Figuur 2
Dan kan ik vergelijking (6) ook schrijven als:



Ik had uit de vergelijkingen (4) en (5) ook m1 kunnen elimineren:



De objecten m1 en m2 draaien rondjes om het zwaartepunt L op afstanden a respectievelijk b. Ieder object ondervindt een centripetale kracht die gelijk is aan:



Hierin is r de afstand tot het zwaartepunt. Omdat bovendien geldt (ω is de hoeksnelheid):



Dan kunnen we vergelijking (9) ook schrijven als:



De zwaartekracht die m2 ondervindt van m1 is:



En de centripetale kracht die m2 ondervindt is:



Deze twee krachten houden elkaar in evenwicht:



Met behulp van vergelijking (7) kom ik dan tot:



Deze afleiding kan ik natuurlijk ook doen voor m1. De zwaartekracht die m1 ondervindt van m2 is:



En de centripetale kracht die m1 ondervindt is:



Deze twee krachten houden elkaar wederom in evenwicht:



Met behulp van vergelijking (8) kom ik dan tot:



En hier komt uiteraard weer hetzelfde uit voor de hoeksnelheid ω. Voor ieder Lagrange-punt dat we gaan vinden moet dus ook gelden:

Vergelijking (20) is de geschiedenisboekjes ingegaan als de derde wet van Kepler.

Zou er een Lagrange-punt bestaan op de lijn m1 - m2 tussen m1 en m2 in?


Figuur 3
Voor het gemak heb ik de oorsprong verplaatst naar het zwaartepunt L. De zwaartekracht die m3 ondervindt van m1 en m2 is:



En de centripetale kracht die m3 ondervindt is:



Deze krachten moeten elkaar in evenwicht houden:



Even een opmerking: strikt genomen zoeken we hier een oplossing van de krachtenwet van Newton die ik hieronder in vier verschillende gedaantes geef (in vectorvorm, want krachten hebben zowel een grootte als een richting):









Een oplossing van deze vergelijkingen is dat objecten cirkelvormige banen om elkaar heen gaan beschrijven. Aan de linkerkant staan de echte krachten, in dit geval de zwaartekracht, en aan de rechterkant staat de bewegingsoplossing. Deze bewegingsoplossing heeft uiteraard ook de dimensie van een kracht (de essentie van een vergelijking is immers dat links en rechts dezelfde ‘dingen’ staan want anders vergelijk je appels met peren) en dat noemen we een schijnkracht. De schijnkracht is geen echte kracht maar een wiskundige abstractie. Wanneer je in een draaimolen zit dan zorgt de draaimolen dat je continu afgebogen wordt van een rechte lijn. Dat de draaimolen aan je trekt is de echte kracht. De centripetale kracht die ‘je naar buiten slingert’ bestaat enkel als wiskundig fenomeen.

Met behulp van de vergelijkingen (7), (8) en (20) kan ik vergelijking (23) omschrijven naar:



Soms zit het mee, soms zit het tegen... Er zit nu niets anders op dan alle haakjes weg te werken:



En vervolgens zitten we met een vijfdegraads functie die we op moeten lossen. Een dergelijke functie heeft minstens één nulpunt en die willen we vinden. Ik schrijf vergelijking (25) als volgt:



Oftewel:



Laten we dit eens oplossen voor het Zon-Aarde systeem. Daarvan weten we:



In ons geval geldt:



Vergelijking (26) is niet rechtstreeks op te lossen, maar gelukkig hebben wij, in tegenstelling tot meneer Lagrange, de beschikking over computers. Door ons probleem in een Excel file te zetten komen we tot een oplossing en vinden we het eerste Lagrange-punt L1. Tevens blijkt dat er maar één oplossing is, dus tussen m1 en m2 bevinden zich geen andere Lagrange-punten.

De volgende vraag is of er Lagrange-punten bestaan op de lijn m1 - m2 die rechts van m2 liggen?


Figuur 4
Net als in vergelijking (21) kan ik weer opschrijven wat m3 ondervindt aan zwaartekracht van m1 en m2. Er vinden wat tekenwisselingen plaats maar verder ziet de vergelijking er hetzelfde uit:



Vergelijking (22) blijft ongewijzigd:



Voor het krachtenevenwicht geldt dus:



Met behulp van de vergelijkingen (7), (8) en (20) kan ik dit weer omschrijven:



Vervolgens werk ik de haakjes weg:



Zo hebben we nog een vijfdegraads functie gevonden als vergelijking (26)



Ditmaal met de volgende coëfficienten:



Door dit uit te rekenen in de Excel file die ik beschikbaar heb komen we tot het tweede Lagrange-punt L2.

Vervolgens kijken we ook nog links van m1.


Figuur 5
De zwaartekracht die m3 ondervindt is:



Vergelijking (22) blijft ongewijzigd:



Voor het krachtenevenwicht geldt dus:



Met behulp van de vergelijkingen (7), (8) en (20) kan ik dit weer omschrijven:



De volgende stap is haakjes wegwerken:



Zo hebben we nog een vijfdegraads functie gevonden als vergelijking (26)



Ditmaal met de volgende coëfficienten:



Dit heb ik ook toegevoegd in mijn Excel file en dat geeft ons het derde Lagrange-punt L3.

Ik zet de resultaten voor het Zon-Aarde systeem even in een tabel:
Ten opzichte van
middelpunt m1
Ten opzichte van
zwaartepunt
Ten opzichte van
middelpunt m2
Middelpunt m1 0.00000000E+00 -4.49333793E+05 -1.49597871E+11 m
Zwaartepunt 4.49333793E+05 0.00000000E+00 -1.49597421E+11 m
Middelpunt m2 1.49597871E+11 1.49597421E+11 0.00000000E+00 m
L1 1.48106298E+11 1.48105849E+11 -1.49157250E+09 m
L2 1.51099424E+11 1.51098975E+11 1.50155355E+09 m
L3 -1.49597609E+11 -1.49598058E+11 -2.99195479E+11 m
L1/a 3.29612086E+05
L2/a 3.36273339E+05
L3/a -3.32933023E+05
L1/b 9.90029424E-01
L2/b 1.01003730E+00
L3/b -1.00000426E+00
L1/c 9.90029454E-01 -9.97054634E-03
L2/c 1.01003727E+00 1.00372655E-02
L3/c -9.99998248E-01 -1.99999825E+00
Tabel 1
Merk op dat: Verder is bekend:



Als ik van links naar rechts beweeg over de lijn, die m1 en m2 verbindt, dan kom ik achtereenvolgens tegen (het punt P waar de zwaartekrachten van beide massa’s elkaar opheffen heb ik aangegeven als “Nul zwaartekracht”):
L3 -149.598.058 km
Oppervlak m1 -696.449 km
Middelpunt m1 -449 km
Zwaartepunt 0 km
Oppervlak m1 695.551 km
L1 148.105.849 km
Nul zwaartekracht 149.338.603 km
Oppervlak m2 149.591.043 km
Middelpunt m2 149.597.421 km
Oppervlak m2 149.603.799 km
L2 151.098.975 km
Tabel 2
De vraag dringt zich uiteraard op (of niet?) of er ergens nog meer Lagrange-punten zijn?


Figuur 6
Ik heb m3 nu op een willekeurige positie gezet. De zwaartekracht die m3 ondervindt van m1 is:



En de zwaartekracht die m3 ondervindt van m2 is:



Maar nu mag ik deze twee krachten niet zomaar bij elkaar optellen, of aftrekken, omdat ze niet in dezelfde richting werken. Ik ga deze twee krachten ontbinden in componenten in de x-richting en y-richting en ze vervolgens optellen:





Die sinussen en cosinussen kan ik wegwerken als volgt:





Met behulp van de vergelijkingen (7) en (8) kom ik tot:





De centripetale kracht op m3 werkt langs de lijn door L en m3. Om een krachtenevenwicht te bereiken moet de zwaartekracht ook langs die lijn werken (maar uiteraard de andere kant op). Dus de x-component en de y-component van de zwaartekracht die op m3 inwerkt moeten zich verhouden als de x-coördinaat en de y-coördinaat van de positie waar m3 zich bevindt. Oftewel:



In woorden betekent dit: de afstand van m1 tot m3 (de rechterterm) is gelijk aan de afstand van m2 tot m3 (de linkerterm) en die afstand noem ik d. Daarmee kan ik de componenten van de zwaartekracht, vergelijkingen (45) en (46), ook schrijven als:





De totale zwaartekracht die m3 ondervindt wordt dan:



Deze zwaartekracht moet in evenwicht zijn met de centripetale kracht:



Tenslotte maak ik voor de laatste keer gebruik van vergelijking (20):



Indien de massa’s m1, m2 en m3 een perfecte gelijkzijdige driehoek vormen (met zijden c) dan bevindt m3 zich in een Lagrange-punt. Er zijn twee van zulke driehoeken te vormen: met de top naar boven gericht en met de top naar beneden gericht.


Figuur 7


Figuur 8
De eerste noemen we L4 en de tweede L5. Omdat planeten in ons zonnestelsel tegen de wijzers van de klok in bewegen loopt L4 voor op de planeet en L5 loopt achter de planeet aan. En dat is de norm geworden, dus wanneer een planeet ‘de andere kant’ opdraait dan ligt L4 aan de andere kant zodat hij toch de voorloper is (en L5 de volger).

Waar liggen L4 en L5 precies? De x-positie van L4 ligt halverwege m1 en m2. De afstand van m1 tot m2 is c, dus dan is de x-coördinaat (want de oorsprong ligt in het zwaartepunt):



De y-coördinaat (de hoogte van de driehoek) is:



Hetgeen natuurlijk niet verrassend is want we hebben te maken met een driehoek met hoeken van zestig graden. De afstand van L4 tot het zwaartepunt wordt dan:



En dezelfde afstand geldt natuurlijk ook voor L5. Het object m2 draait op een afstand b om het zwaartepunt heen en L4 en L5 liggen iets verder weg. Voor het Zon-Aarde systeem bevinden L4 en L5 zich 225 km buiten de aardbaan. Geen afstanden om wakker van te liggen maar we zijn nu aan het rekenen en dan willen we het ook goed doen. Toch?

Laat ik alles even samenvatten.

Er zijn vijf Lagrange-punten, punten waar zwaartekracht en centripetale kracht in evenwicht zijn. Drie punten kunnen gevonden worden door het oplossen van de vergelijking:



Voor L1 geldt:



Voor L2 geldt:



Voor L3 geldt:



L4 en L5 liggen in een perfecte gelijkzijdige driehoek met m1 en m2:


Figuur 7


Figuur 8