Tensoren, vraagstuk 5

Indien de covariante metrische tensor diagonaal is, is de contravariante metrische tensor dat dan ook?
Dit is de covariante metrische tensor:



Dat een tensor diagonaal is wil zeggen dat alle componenten, behalve die op de hoofddiagonaal, nul zijn:



Het vorige vraagstuk leerde ons hoe we covariante componenten kunnen omrekenen in contravariante componenten en vice versa:





Laten we dat dan maar eens gaan doen. Ik ga eerst van alle zestien covariante componenten de onderdeterminanten opschrijven:

































Vervolgens ga ik de componenten uit de metrische tensor van vergelijking (2) invullen en de nul-termen laat ik gelijk weg:

































Dit is de determinant van de metrische tensor:



Na invullen van de componenten uit de metrische tensor van vergelijking (2) blijft dit over:



Omdat de onderdeterminanten van de componenten die niet op de hoofddiagonaal liggen nul zijn (zie de vergelijkingen (6)), zijn de contravariante componenten die niet op de hoofddiagonaal liggen ook nul (zoals uit vergelijking (3) volgt). De contravariante hoofddiagonaaltermen zijn:









De contravariante metrische tensor ziet er dus als volgt uit:



Kortom, indien de covariante metrische tensor diagonaal is, dan is de contravariante metrische tensor dat ook. En omgekeerd geldt precies hetzelfde (want dat verandert in essentie niets aan al het voorgaande gereken):



Ik heb hier telkens gesproken over de metrische tensor, maar dit hele verhaal geldt uiteraard voor iedere symmetrische tensor van de tweede rang.