Tensoren, vraagstuk 3

Welke Christoffel-symbolen van de eerste soort worden nul wanneer de metrische tensor diagonaal is? Ga uit van een vierdimensionale ruimte.
Dit is de metrische tensor:



Dat een tensor diagonaal is wil zeggen dat alle componenten, behalve die op de hoofddiagonaal, nul zijn:

De definitie van de Christoffel-symbolen van de eerste soort is:

Een Christoffel-symbool heeft drie indices en in een vierdimensionale ruimte bestaan er dus 43 = 64 Christoffel-symbolen. Ik ga ze allemaal uitschrijven:

















Vervolgens ga ik de componenten uit de metrische tensor van vergelijking (2) invullen en de nul-termen laat ik gelijk weg:

















De laatste stap is om termen samen te nemen en haakjes weg te werken. De Christoffel-symbolen die nul zijn laat ik vanaf nu weg uit de lijst:











Zo zijn er dus van de 64 oorspronkelijke Christoffel-symbolen nog 40 over. Merk op dat:





Inhoudelijk, en afgezien van het teken, zijn er in essentie nog maar 16 verschillende Christoffel-symbolen over.