Vectoren, vraagstuk 92

S is het oppervlak (alleen de mantel) van een kegel met de ‘top’ in de oorsprong. De rand van het oppervlak is een horizontale cirkel op hoogte z = 3, middelpunt op de z-as en straal √3.
  1. Geef een parametrisering van S in Cartesische coördinaten, waarbij u als parameters moet gebruiken:
    1. De afstand tot de oorsprong en de hoek met de positieve x-as (zoals bij bolcoördinaten).
    2. De afstand tot de z-as en de hoek met de positieve x-as (zoals bij cilindercoördinaten).
    3. De x- en de y-coördinaat.
  2. Geef een parametrisering van S in bolcoördinaten.
  3. Geef een parametrisering van S in cilindercoördinaten.
  1. Geef een parametrisering van S in Cartesische coördinaten, waarbij u als parameters moet gebruiken:
    1. De afstand tot de oorsprong en de hoek met de positieve x-as (zoals bij bolcoördinaten).

      De afstand tot de oorsprong noem ik a en de straal van de kegel is r. Dan geldt:





      Waaruit volgt:



      Dan wordt de parametrisering van S:



      De maximale waarde voor a is:



      Oftewel:


    2. De afstand tot de z-as en de hoek met de positieve x-as (zoals bij cilindercoördinaten).

      Dit kunnen we gelijk aflezen uit het voorgaande:


    3. De x- en de y-coördinaat.

      Ik schrijf z als functie van x en y:



      Dan wordt de parametrisering van S:


  2. Geef een parametrisering van S in bolcoördinaten.

    Voor de hoek φ geldt:



    Oftewel:



    Dan wordt de parametrisering van S:


  3. Geef een parametrisering van S in cilindercoördinaten.

    Omdat:



    Dan wordt de parametrisering van S: