Vectoren, vraagstuk 91

Door een bol met straal a is een cilindervormig gat geboord met straal b (b < a) waardoor een ringvormig object ontstaat.
  1. Bereken de inhoud van de ring.
  2. Bereken de oppervlakte van het overgebleven deel van het boloppervlak.
  1. Bereken de inhoud van de ring.

    Voor de bol geldt:



    Mijn regel is: dit is een omwentelingslichaam om de z-as dus over naar cilindercoördinaten:









    Voor de relatie tussen r en ζ geldt:



    Waardoor de grenzen voor r worden:



    Dan is het volume:



  2. Bereken de oppervlakte van het overgebleven deel van het boloppervlak.

    Voor het oppervlak S kan ik schrijven:



    Ik kan ζ schrijven als functie van r:



    En hier heb ik zomaar alle negatieve waarden van ζ verwijderd (omdat ik de wortel erin gebracht heb). Dat moeten we even in ons achterhoofd houden. De parametrisering van S is dan:



    Door partieel te differentiëren verkrijg ik twee raakvectoren aan het oppervlak:





    De vector dA volgt uit het uitwendig product van de raakvectoren:



    De vector dA representeert een stukje oppervlak dA en die wil ik weten:



    Door alle stukjes dA te integreren over het totale oppervlak S kom ik aan de oppervlakte van S. De factor twee voor de integraal komt erbij omdat ik hierboven alle negatieve waarden van ζ buitenspel heb gezet en dat corrigeer ik nu op deze manier: